《2025年暑假作业本大象出版社七年级数学华师大版》

12. 一艘轮船在相距180km的甲、乙两地之间匀速航行,从甲地到乙地顺流航行用6h,从乙地到甲地逆流航行比顺流航行多用4h。
(1)求该轮船在静水中的平均速度和水流的平均速度；
(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头,使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同,问：甲、丙两地相距多少千米？

答案：
(1) 设该轮船在静水中的平均速度是 $ x $ km/h, 水流的平均速度是 $ y $ km/h,
依题意, 得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 6 ( x + y ) = 180 , } \\ { ( 6 + 4 ) × ( x - y ) = 180 . } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x = 24 , } \\ { y = 6 . } \end{array} \right. $
答: 该轮船在静水中的平均速度是 24 km/h, 水流的平均速度是 6 km/h.
(2) 设甲、丙两地相距 $ a $ km, 则乙、丙两地相距 $ ( 180 - a ) $ km,
依题意, 得 $ \frac { a } { 24 + 6 } = \frac { 180 - a } { 24 - 6 } $.
解得 $ a = 112 . 5 $.
答: 甲、丙两地相距 112.5 km.

13. 已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10t；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11t。某物流公司现有31t货物,计划同时租用A型车$a$辆,B型车$b$辆,一次运完,且恰好每辆车都载满货物。
根据以上信息,解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案。
(3)若A型车每辆需租金300元/次,B型车每辆需租金320元/次。请选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费。

答案：
(1) 设每辆 A 型车、B 型车都载满货物一次可分别运货 $ x $ t, $ y $ t,
依题意列方程组, 得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 10 , } \\ { x + 2 y = 11 . } \end{array} \right. $
解方程组, 得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x = 3 , } \\ { y = 4 . } \end{array} \right. $
答: 1 辆 A 型车载满货物一次可运货 3 t, 1 辆 B 型车载满货物一次可运货 4 t.
(2) 结合题意和
(1), 得 $ 3 a + 4 b = 31 $,
$ \therefore a = \frac { 31 - 4 b } { 3 } $.
因为 $ a , b $ 都是正整数,
所以 $ \left\{ \begin{array} { l } { a = 9 , } \\ { b = 1 } \end{array} \right. $ 或 $ \left\{ \begin{array} { l } { a = 5 , } \\ { b = 4 } \end{array} \right. $ 或 $ \left\{ \begin{array} { l } { a = 1 , } \\ { b = 7 . } \end{array} \right. $
答: 有 3 种租车方案. 方案一: A 型车 9 辆, B 型车 1 辆; 方案二: A 型车 5 辆, B 型车 4 辆; 方案三: A 型车 1 辆, B 型车 7 辆.
(3) 因为 A 型车每辆需租金 300 元/次, B 型车每辆需租金 320 元/次,
所以方案一需租金 $ 9 × 300 + 1 × 320 = 3 020 $ (元),
方案二需租金 $ 5 × 300 + 4 × 320 = 2 780 $ (元),
方案三需租金 $ 1 × 300 + 7 × 320 = 2 540 $ (元).
因为 $ 3 020 ＞ 2 780 ＞ 2 540 $,
所以最省钱的租车方案是方案三, A 型车 1 辆, B 型车 7 辆, 最少租车费为 2 540 元.
答: 最省钱的租车方案是方案三, A 型车 1 辆, B 型车 7 辆, 最少租车费为 2 540 元.