《2025年暑假作业本大象出版社七年级数学华师大版》

5. 【方法体验】已知方程组$\left\{\begin{array}{l} 2026x-2025y= 20,\\ 2027x+2026y= 500,\end{array} \right. $①②求$4053x+y$的值。小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦。后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题。请你体验一下这种快捷思路,并解决下面问题。
【方法迁移】根据上面的体验,填空：已知方程组$\left\{\begin{array}{l} x+2y+3z= 10,\\ 4x+3y+2z= 15,\end{array} \right. 则3x+y-z= $____。
【探究升级】已知方程组$\left\{\begin{array}{l} x+2y+3z= 10,\\ 4x+3y+2z= 15,\end{array} \right. 求-2x+y+4z$的值。小明凑出“$-2x+y+4z= 2\cdot (x+2y+3z)+(-1)\cdot (4x+3y+2z)= 20-15= 5$”,虽然问题得到解决,但他觉得凑数字很辛苦,于是他问丁老师有没有不用凑数字的方法,丁老师提示道：假设$-2x+y+4z= m\cdot (x+2y+3z)+n\cdot (4x+3y+2z)$,对照方程两边各项的系数,可列出方程组$\left\{\begin{array}{l} m+4n= -2,\\ 2m+3n= 1,\\ 3m+2n= 4.\end{array} \right. $它的解就是你凑的数。
根据丁老师的提示,填空：$2x+5y+8z= $____$(x+2y+3z)+$____$(4x+3y+2z)$。
【巩固运用】已知$2a-b+kc= 4$,且$a+3b+2c= -2$,当$k$为____时,$8a+3b-2c$为定值,此定值是____。(直接写出结果)

答案： 【方法迁移】5 提示: 将 $ \left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y + 3 z = 10 , } \\ { 4 x + 3 y + 2 z = 15 } \end{array} \right. $ 中的两个方程相减, 得到 $ - 3 x - y + z = - 5 $, 则 $ 3 x + y - z = 5 $.
【探究升级】$ \frac { 14 } { 5 } $ $ \left( - \frac { 1 } { 5 } \right) $ 提示: 设 $ 2 x + 5 y + 8 z = m ( x + 2 y + 3 z ) + n ( 4 x + 3 y + 2 z ) $,
由题意, 得 $ \left\{ \begin{array} { l } { m + 4 n = 2 , } \\ { 2 m + 3 n = 5 , } \\ { 3 m + 2 n = 8 . } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { m = \frac { 14 } { 5 } , } \\ { n = - \frac { 1 } { 5 } . } \end{array} \right. $
所以 $ 2 x + 5 y + 8 z = \frac { 14 } { 5 } ( x + 2 y + 3 z ) + \left( - \frac { 1 } { 5 } \right) ( 4 x + 3 y + 2 z ) $.
【巩固运用】-2 8 提示: 设 $ 8 a + 3 b - 2 c = m ( 2 a - b + k c ) + n ( a + 3 b + 2 c ) $, 由题意, 得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 2 m + n = 8 , } \\ { 3 n - m = 3 , } \\ { 2 n + m k = - 2 . } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { m = 3 , } \\ { n = 2 , } \\ { k = - 2 . } \end{array} \right. $
所以 $ 8 a + 3 b - 2 c = m ( 2 a - b + k c ) + n ( a + 3 b + 2 c ) = 3 × 4 + 2 × ( - 2 ) = 8 $.

1. 《九章算术》是中国古代数学著作之一,书中有这样的一个问题：五只雀与六只燕共重一斤,雀重燕轻,互换一只,恰好一样重。问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为$x$斤,一只燕的重量为$y$斤,则可列方程组为( )

A.$\left\{\begin{array}{l} 5x+6y= 1,\\ 5x-y= 6y-x\end{array} \right. $
B.$\left\{\begin{array}{l} 6x+5y= 1,\\ 5x+y= 6y+x\end{array} \right. $
C.$\left\{\begin{array}{l} 5x+6y= 1,\\ 4x+y= 5y+x\end{array} \right. $
D.$\left\{\begin{array}{l} 6x+5y= 1,\\ 4x-y= 5y-x\end{array} \right. $

答案： C

2. 小明在某商店购买商品A,B共两次,这两次购买商品A,B的数量和费用如下表：
| | 购买商品A的数量/个 | 购买商品B的数量/个 | 购买总费用/元 |
| 第一次购物 | 4 | 3 | 93 |
| 第二次购物 | 6 | 6 | 162 |
若小丽需要购买3个商品A和2个商品B,则她要花费____元。

答案： 66 提示: 设商品 A 的单价为 $ x $ 元, 商品 B 的单价为 $ y $ 元.
根据题意, 得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 93 , } \\ { 6 x + 6 y = 162 . } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x = 12 . } \\ { y = 15 . } \end{array} \right. $
所以 $ 3 × 12 + 2 × 15 = 66 $ (元).