《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

例6 （2024齐齐哈尔节选）如图，在平面直角坐标系中，已知直线$y = \frac{1}{2}x - 2$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$C$，过$A$，$C$两点的抛物线$y = ax^{2} + bx + c(a\neq 0)$与$x$轴的另一个交点为$B(-1,0)$，$P$是第四象限抛物线上的一个动点，过点$P$分别作$x$轴和$y$轴的平行线，分别交直线$AC$于点$E$，$F$．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当$EF = AC$时，求点$P$的坐标；
（3）在（2）的条件下，若$N$是$y$轴上的一个动点，过点$N$作抛物线对称轴的垂线，垂足为$M$，连接$NA$，$MP$，求$NA + MP$的最小值．

（1）$y=$$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2$. （2）$P$($2$,$-3$).
（3）$\frac{3\sqrt{13}}{2}$.

答案：
(1) $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2$.
(2) $P(2, -3)$.
(3) $\frac{3\sqrt{13}}{2}$.