《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

例1 如图，在矩形ABCD中，$AB=2$，$AD=\sqrt{7}$，动点P在矩形的边上沿$B→C→D→A$运动。当点P不与点A，B重合时，将$\triangle ABP$沿AP对折，得到$\triangle AB'P$，连接$CB'$，则在点P的运动过程中，线段$CB'$的最小值为$\sqrt{11}-2$。

答案： $\sqrt{11}-2$

1.（2024常州期中）如图，点A，B的坐标分别为$A(4,0)$，$B(0,4)$，C为坐标平面内一点，$BC=2$，M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为____$1+2\sqrt{2}$。

答案： $1+2\sqrt{2}$

2.（2024黑龙江）如图，在$Rt\triangle ACB$中，$\angle BAC=30^{\circ}$，$CB=2$，E是斜边AB的中点。把$Rt\triangle ABC$绕点A顺时针旋转，得到$Rt\triangle AFD$，点C，B旋转后的对应点分别是D，F，连接CF，EF，CE。在旋转的过程中，$\triangle CEF$面积的最大值是____$4+\sqrt{3}$。

答案： $4+\sqrt{3}$

例2 如图，在四边形ABCD中，$AB=AC=AD$，$\angle CAD=2\angle BAC$。若$\angle BCD=105^{\circ}$，则$\angle BDC=$$25^{\circ}$。

答案： $25^{\circ}$

3. 如图，将$\triangle ABC$绕点A顺时针旋转$25^{\circ}$得到$\triangle AEF$，EF交BC于点N，连接AN。若$\angle C=57^{\circ}$，则$\angle ANB=$$102.5^{\circ}$。

答案： $102.5^{\circ}$

例3 如图，$\triangle ABC$为等边三角形，$AB=2$，若P为$\triangle ABC$内的一个动点，且满足$\angle APC=150^{\circ}$，则线段PB的最小值为$2\sqrt{3}-2$。

答案： $2\sqrt{3}-2$

4. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=8cm$，$BC=3cm$。D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作$CE\perp AD$于点E，连接BE。在点D变化的过程中，线段BE的最小值是____1____cm。

答案： 1

例4 如图，在矩形ABCD中，$AB=6$，$AD=8$，P是矩形内部的一个动点，且$\angle APD=90^{\circ}$，连接CP并延长交AB于点E，则AE的最大值为$\frac{8}{3}$。

答案： $\frac{8}{3}$

5. 如图，在正方形ABCD中，$AB=2$，动点E从点A出发沿AD向点D运动，同时动点F从点D出发沿DC向点C运动，点E，F运动的速度相同，当它们到达各自的终点时停止运动。运动过程中线段AF，BE相交于点P，则线段DP的最小值为$\sqrt{5}-1$。

答案： $\sqrt{5}-1$