《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

例2 （2024重庆一中期中节选）如图，抛物线$y = ax^{2} + \frac{1}{2}x + c$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，连接$BC$．已知$B(2,0)$，抛物线的对称轴$l$为直线$x = -1$．
（1）求抛物线的解析式；
（2）$P$为对称轴左侧，第三象限抛物线上一动点，$D$为抛物线的顶点，过点$P$作直线$PQ// BC$交对称轴$l$于点$Q$，连接$QD$．求$\sqrt{2}PQ - QD$的最大值以及此时点$P$的坐标．
（1）抛物线的解析式为$y = \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x - 2$；
（2）$\sqrt{2}PQ - QD$的最大值为1，此时点$P$的坐标为$(-3, -\frac{5}{4})$．

答案：
(1) 抛物线的解析式为 $y = \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x - 2$
(2) 当 $m = -3$ 时, $\sqrt{2}PQ - QD$ 有最大值 1, 此时点 $P$ 的坐标为 $(-3, -\frac{5}{4})$.