《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

1. 切线的判定
(1)定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
(2)数量法$(d=r)$:与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

答案： 1. （3）判定定理：经过**半径的外端**并且垂直于**这条半径**的直线是圆的切线。

例1 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },$以斜边AB上的中线CD为直径作$\odot O$,与BC交于点M,与AB的另一个交点为E,过点M作$MN⊥AB$,垂足为N.
求证:MN是$\odot O$的切线.

证明：连接$OM$。因为$OC = OM$，所以$\angle OCM=\angle OMC$。在$Rt\triangle ABC$中，$CD$是斜边$AB$上的中线，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$CD = BD$，所以$\angle DCB=\angle B$。则$\angle OMC=\angle B$，所以$OM// AB$。又因为$MN\perp AB$，所以$OM\perp MN$。因为$OM$是$\odot O$的半径，根据圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，所以$MN$是$\odot O$的切线。

答案： 【解析】：
连接$OM$。
因为$OC = OM$，所以$\angle OCM=\angle OMC$。
在$Rt\triangle ABC$中，$CD$是斜边$AB$上的中线，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$CD = BD$，所以$\angle DCB=\angle B$。
则$\angle OMC=\angle B$，所以$OM// AB$。
又因为$MN\perp AB$，所以$OM\perp MN$。
因为$OM$是$\odot O$的半径，根据圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，所以$MN$是$\odot O$的切线。
【答案】：连接$OM$，通过证明$OM// AB$，结合$MN\perp AB$得出$OM\perp MN$，再根据切线判定定理得证$MN$是$\odot O$的切线。

1. 下列说法正确的是(D)
A. 和圆的半径垂直的直线一定是圆的切线
B. 经过半径外端点的直线是圆的切线
C. 经过半径的端点,且垂直于这条半径的直线一定是圆的切线
D. 到圆心的距离等于半径的直线一定是这个圆的切线

答案： D

2. 如图,AB是$\odot O$的直径,BC交$\odot O$于点D,$DE⊥AC$于点E.要使DE是$\odot O$的切线,还需补充一个条件,则下列补充的条件不符合题意的是(A)

A. $DE=DO$
B. $AB=AC$
C. $CD=DB$
D. $AC// OD$

答案： A

3. 如图,AB是$\odot O$的直径,D为$\odot O$上一点,E为$\widehat {BD}$的中点,点C在BA的延长线上,连接AD,BD,CD,DE,$∠CDA=∠B.$
求证:CD是$\odot O$的切线.

证明：连接OD，
∵AB是$\odot O$直径，$\therefore\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle B+\angle BAD = 90^{\circ}$。
∵OB = OD，$\therefore\angle B=\angle ODB$。
又∵$\angle CDA=\angle B$，$\therefore\angle CDA=\angle ODB$。
$\therefore\angle CDA+\angle ODA=\angle ODB+\angle ODA$，即$\angle ODC = 90^{\circ}$。
∵OD是$\odot O$半径，$OD\perp CD$，$\therefore CD$是$\odot O$的切线。

答案： 【解析】：
连接$OD$，
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，即$\angle B+\angle BAD=90^{\circ}$。
又因为$OB = OD$，所以$\angle B=\angle ODB$。
已知$\angle CDA=\angle B$，所以$\angle CDA=\angle ODB$。
则$\angle CDA+\angle ODA=\angle ODB+\angle ODA$，而$\angle ODB+\angle ODA=\angle ADB = 90^{\circ}$，即$\angle ODC = 90^{\circ}$。
因为$OD$是$\odot O$的半径，且$OD\perp CD$，所以$CD$是$\odot O$的切线。
【答案】：
连接$OD$，
$\because AB$是$\odot O$直径，$\therefore\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle B+\angle BAD = 90^{\circ}$。
$\because OB = OD$，$\therefore\angle B=\angle ODB$。
又$\because\angle CDA=\angle B$，$\therefore\angle CDA=\angle ODB$。
$\therefore\angle CDA+\angle ODA=\angle ODB+\angle ODA$，即$\angle ODC = 90^{\circ}$。
$\because OD$是$\odot O$半径，$OD\perp CD$，$\therefore CD$是$\odot O$的切线。