《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

例5 （2024甘肃）如图，抛物线$y = a(x - h)^{2} + k$交$x$轴于$O$，$A(4,0)$两点，顶点为$B(2,2\sqrt{3})$，$C$为$OB$的中点．
（1）求该抛物线的解析式；$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + 2\sqrt{3}x$
（2）如图甲，过点$C$作$CH\perp OA$，垂足为$H$，交抛物线于点$E$．求线段$CE$的长；$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（3）$D$为线段$OA$上一动点（点$O$除外），在$OC$右侧作平行四边形$OCFD$．
①如图乙，当点$F$落在抛物线上时，求点$F$的坐标；$(2 + \sqrt{2}, \sqrt{3})$
②如图丙，连接$BD$，$BF$，求$BD + BF$的最小值．$2\sqrt{7}$

答案：
(1) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + 2\sqrt{3}x$.
(2) $CE = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
(3) ① $F(2 + \sqrt{2}, \sqrt{3})$. ② $BD + BF$ 的最小值为 $2\sqrt{7}$.