《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

例1 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为$M(2,0)$，与$y$轴交于点$B(0,2)$，直线$y = x + m$与该二次函数的图象交于$A$，$B$两点，$D$是线段$AB$上的一个动点，过点$D$作$x$轴的垂线交二次函数的图象于点$E$，则线段$DE$的最大值为______$\frac{9}{2}$．

答案： $\frac{9}{2}$

1. 已知二次函数$y = x^{2} + bx + c$，该函数图象的对称轴为直线$x = 1$，与$x$轴相交于点$A$，$B$（点$B$在点$A$右侧），与$y$轴交于点$C(0,-3)$．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图①，$D$是直线$BC$下方抛物线上的动点，过点$D$作$DE// x$轴交直线$BC$于点$E$，求$DE$的最大值；
（3）如图②，$P$是直线$BC$下方抛物线上的动点，$PQ\perp BC$于点$Q$，当$PQ$取最大值时，求点$P$的坐标．
（1）$y=$$x^2 - 2x - 3$.
（2）$\frac{9}{4}$.
（3）$P$($\frac{3}{2}$, $-\frac{15}{4}$).

答案：
(1) $y = x^2 - 2x - 3$.
(2) $\frac{9}{4}$.
(3) $P(\frac{3}{2}, -\frac{15}{4})$.