《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

例1 已知二次函数的图象的顶点坐标是$(1,-3)$，且经过点$P(2,0)$。求这个二次函数的解析式。

答案： 【解析】：本题可根据二次函数顶点式来求解。
设二次函数的顶点式为$y = a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$，$(h,k)$为顶点坐标）。
已知顶点坐标是$(1,-3)$，则$h = 1$，$k = -3$，所以二次函数解析式为$y = a(x - 1)^2 - 3$。
因为函数图象经过点$P(2,0)$，把$x = 2$，$y = 0$代入$y = a(x - 1)^2 - 3$中，可得$0 = a(2 - 1)^2 - 3$，即$0 = a - 3$，解得$a = 3$。
把$a = 3$代入$y = a(x - 1)^2 - 3$，得到二次函数的解析式为$y = 3(x - 1)^2 - 3$，展开表达式$y = 3(x^2 - 2x + 1) - 3=3x^2 - 6x + 3 - 3 = 3x^2 - 6x$。
【答案】：$y = 3x^2 - 6x$

1. 如图，该抛物线的解析式是(A)

A. $y=-x^{2}+x + 2$
B. $y=-x^{2}-x + 2$
C. $y=x^{2}+x + 2$
D. $y=x^{2}-x + 2$

答案： A

2. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$($a\neq0$)的图象过点$A(1,0)$，$B(0,-3)$，且对称轴为直线$x = 2$，则抛物线的顶点坐标为$(2,1)$。

答案： $(2,1)$

3. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的顶点坐标为$(2,3)$，且与$x$轴的两个交点之间的距离为6，求抛物线的解析式。

答案： 【解析】：
1. 首先，因为抛物线顶点坐标为$(2,3)$，且抛物线对称轴公式为$x =-\frac{b}{2a}$，所以抛物线对称轴为$x = 2$。
又因为抛物线与$x$轴的两个交点之间的距离为$6$，根据抛物线的对称性，设抛物线与$x$轴的两个交点的横坐标分别为$x_1$，$x_2$（$x_1\lt x_2$），则$\frac{x_1 + x_2}{2}=2$，$x_2 - x_1 = 6$。
由$\begin{cases}\frac{x_1 + x_2}{2}=2\\x_2 - x_1 = 6\end{cases}$，解方程组：
由$\frac{x_1 + x_2}{2}=2$可得$x_1 + x_2 = 4$，与$x_2 - x_1 = 6$相加，即$(x_1 + x_2)+(x_2 - x_1)=4 + 6$，$2x_2 = 10$，解得$x_2 = 5$。
把$x_2 = 5$代入$x_2 - x_1 = 6$，得$5 - x_1 = 6$，解得$x_1=-1$。
所以抛物线与$x$轴的两个交点坐标分别为$(-1,0)$，$(5,0)$。
2. 然后，设抛物线的交点式为$y=a(x - x_1)(x - x_2)$（$a\neq0$），把$x_1=-1$，$x_2 = 5$代入得$y=a(x + 1)(x - 5)$。
3. 最后，把顶点坐标$(2,3)$代入$y=a(x + 1)(x - 5)$：
当$x = 2$，$y = 3$时，$3=a(2 + 1)(2 - 5)$。
即$3=a\times3\times(-3)$，$3=-9a$，解得$a=-\frac{1}{3}$。
把$a =-\frac{1}{3}$代入$y=a(x + 1)(x - 5)$得$y=-\frac{1}{3}(x + 1)(x - 5)=-\frac{1}{3}(x^{2}-4x - 5)=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$。
【答案】：$y =-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$