《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

8. 如图，点 $ A $ 在射线 $ OX $ 上，$ OA = a $。如果将线段 $ OA $ 绕点 $ O $ 逆时针旋转 $ n^{\circ}(0 ＜ n \leq 360) $ 得到线段 $ OA' $，那么点 $ A' $ 的位置可以用 $ (a,n^{\circ}) $ 表示。
(1) 按上述表示方法，若 $ a = 3 $，$ n = 90 $，则点 $ A' $ 的位置可以表示为______(3,90°)；
(2) 在 (1) 的条件下，已知点 $ B $ 的位置用 $ (3,180^{\circ}) $ 表示，连接 $ A'A $，$ A'B $，$ OB $。求证：$ A'A = A'B $。

证明：由题意可知，OA=OA'=OB=3，∠AOA'=90°，∠AOB=180°，所以∠A'OB=∠AOB - ∠AOA'=180° - 90°=90°，即∠AOA'=∠A'OB=90°。在△AOA'和△BOA'中，OA=OB，∠AOA'=∠BOA'，OA'=OA'，所以△AOA'≌△BOA'（SAS），所以A'A=A'B。

答案：
(1) $ (3,90^{\circ}) $;
(2) 略.

9. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $ y = x^2 + 2x - 1 $ 先绕原点 $ O $ 旋转 $ 180^{\circ} $，再向下平移 5 个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标是$ (1,-3) $。

答案： $ (1,-3) $

10. 在平面直角坐标系中，已知点 $ A(2,3) $，$ B(0,1) $，$ C(3,1) $。若线段 $ AC $ 与 $ BD $ 互相平分，则点 $ D $ 关于坐标原点的对称点的坐标为$ (-5,-3) $。

答案： $ (-5,-3) $

11. 已知点 $ P $ 的坐标为 $ (2 - a,3a + 6) $，且点 $ P $ 到两坐标轴的距离相等，则点 $ P $ 关于原点 $ O $ 对称的点的坐标为$ (-3,-3) $ 或 $ (-6,6) $。

答案： $ (-3,-3) $ 或 $ (-6,6) $

12. 在平面直角坐标系中，函数 $ F_1 $ 和 $ F_2 $ 的图象关于原点对称。
(1) 若函数 $ F_1 $ 为 $ y = x + 1 $，则 $ F_2 $ 的解析式为$ y = x - 1 $；
(2) 若函数 $ F_2 $ 为 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $，则 $ F_1 $ 的解析式为$ y = -ax^{2} + bx - c(a \neq 0) $；
(3) 若函数 $ F_1 $ 为 $ y = mx^2 - 4mx - 5(m \neq 0) $，已知 $ A(0,3) $，$ B(-3,3) $，当 $ F_2 $ 与线段 $ AB $ 有一个交点时，求 $ m $ 的取值范围。$ m $ 的取值范围为 $ m ＜ -\frac{2}{3} $ 或 $ m = -\frac{1}{2} $.

答案：
(1) $ y = x - 1 $;
(2) $ y = -ax^{2} + bx - c(a \neq 0) $;
(3) $ m $ 的取值范围为 $ m ＜ -\frac{2}{3} $ 或 $ m = -\frac{1}{2} $.