《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

1. 一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 有无实数根的判别方法
一般地，式子$b^{2}-4ac$叫做一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0$ 根的判别式，通常用希腊字母“$\Delta$”表示它，即 $\Delta = b^{2}-4ac$。
当$\Delta\gt0$时，方程 $ax^{2}+bx+x = 0(a\neq0)$ 有两个不等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程 $ax^{2}+bx+x = 0(a\neq0)$ 有两个相等的实数根；
当$\Delta\lt0$时，方程 $ax^{2}+bx+x = 0(a\neq0)$ 无实数根。

答案： 【解析】：对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，我们通过配方法得到它的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。式子$b^{2}-4ac$的值决定了方程根的情况。当$b^{2}-4ac\gt0$时，$\sqrt{b^{2}-4ac}$是一个有意义的实数，此时方程有两个不同的解，即有两个不等的实数根；当$b^{2}-4ac = 0$时，$\sqrt{b^{2}-4ac}=0$，方程的解为$x=-\frac{b}{2a}$，有两个相等的实数根；当$b^{2}-4ac\lt0$时，$\sqrt{b^{2}-4ac}$在实数范围内无意义，所以方程无实数根。这里题目中方程$ax^{2}+bx+x = 0$应该是$ax^{2}+bx+c = 0$的笔误。
【答案】：$b^{2}-4ac$；$\Delta\gt0$；$\Delta = 0$；$\Delta\lt0$

2. 用公式法解一元二次方程
当 $\Delta\geq0$ 时，方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的实数根可写为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$的形式，这个式子叫做一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 的求根公式。求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0$ 的结果。解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

答案： 【解析】：根据一元二次方程的求根公式的推导过程和定义，当用配方法解一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，在$\Delta =b^{2}-4ac\geq0$时，通过配方、开方等步骤可以得到方程的根的表达式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，这个表达式就叫做一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的求根公式。
【答案】：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；求根公式

例1 用公式法解下列方程：
(1) $3x^{2}-5x - 2 = 0$；$x_{1}=2,x_{2}=-\frac {1}{3}$
(2) $(x + 2)^{2}=2x + 1$。原方程无实数根

答案：
(1)$x_{1}=2,x_{2}=-\frac {1}{3}$;
(2)原方程无实数根.

1. (1) 方程 $3x^{2}+4x = 7$ 化为一般形式是$3x^{2}+4x-7=0$，则 $b^{2}-4ac=$100，方程的根为$x_{1}=1,x_{2}=-\frac {7}{3}$；
(2) 方程 $(x - 5)(x + 2)=8$ 化为一般形式是$x^{2}-3x-18=0$，则 $b^{2}-4ac=$81，方程的根为$x_{1}=6,x_{2}=-3$。

答案：
(1)$3x^{2}+4x-7=0$;100;$x_{1}=1,x_{2}=-\frac {7}{3}$;
(2)$x^{2}-3x-18=0$;81;$x_{1}=6,x_{2}=-3$

2. 用公式法解下列方程：
(1) $2x^{2}-3x - 3 = 0$；$x_{1}=\frac {3+\sqrt {33}}{4},x_{2}=\frac {3-\sqrt {33}}{4}$
(2) $x^{2}=2\sqrt{3}x - 3$；$x_{1}=x_{2}=\sqrt {3}$
(3) $3y^{2}+5(2y + 3)=0$。原方程无实数根

答案：
(1)$x_{1}=\frac {3+\sqrt {33}}{4},x_{2}=\frac {3-\sqrt {33}}{4}$;
(2)$x_{1}=x_{2}=\sqrt {3}$;
(3)原方程无实数根.