《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

3. (2024 上海) 下列一元二次方程有两个相等实数根的是 (D)
A. $x^{2}-6x = 0$
B. $x^{2}-9 = 0$
C. $x^{2}-6x + 6 = 0$
D. $x^{2}-6x + 9 = 0$

答案： D

4. 若一元二次方程 $ax^{2}+2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是 (D)
A. $a＜1$
B. $a\leq1$
C. $a\leq1$ 且 $a\neq0$
D. $a＜1$ 且 $a\neq0$

答案： D

5. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx - 8 = 0$ 的根的情况是 (A)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案： A

6. (1) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+8x + 2k = 0$ 有两个相等的实数根，则实数 $k$ 的值为8；
(2) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1)x^{2}-2x - 1 = 0$ 有实数根，则实数 $m$ 的取值范围是$m≥0$且$m≠1$。

答案：
(1)8;
(2)$m≥0$且$m≠1$

7. 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}-4x - 8 = 0$；$x_{1}=2+2\sqrt {3},x_{2}=2-2\sqrt {3}$
(2) $3x^{2}=4 - 2x$；$x_{1}=\frac {-1+\sqrt {13}}{3},x_{2}=\frac {-1-\sqrt {13}}{3}$
(3) $5(x^{2}+1)-7x = 0$。原方程没有实数根

答案：
(1)$x_{1}=2+2\sqrt {3},x_{2}=2-2\sqrt {3}$;
(2)$x_{1}=\frac {-1+\sqrt {13}}{3},x_{2}=\frac {-1-\sqrt {13}}{3}$;
(3)原方程没有实数根.

8. 对于实数 $a$，$b$ 定义新运算“$\otimes$”：$a\otimes b = b^{2}-ab$。例如：$3\otimes2 = 2^{2}-3×2 = -2$，则关于 $x$ 的方程 $(k - 3)\otimes x = k - 1$ 的根的情况，下列说法正确的是 (A)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定

答案： A

9. 小刚在解关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 时，只抄对了 $a = 1$，$b = 4$，解出其中一个根是 $x = -1$。他核对时发现所抄的 $c$ 比原方程的 $c$ 的值小 $2$，则原方程 $c$ 的值为5，原方程的根的情况是没有实数根。

答案： 5,没有实数根

10. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}-2(a - 1)x+a - 2 = 0(a＞0)$，设方程的两个实数根分别为 $x_{1}$，$x_{2}$（其中 $x_{1}＞x_{2}$），若 $y$ 是关于 $a$ 的函数，且 $y = x_{1}-ax_{2}$，则当 $y＞0$ 时，$a$ 的取值范围为______0＜a＜3。

答案： $0＜a＜3$

11. 已知 $\square ABCD$ 的两边 $AB$，$AD$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$ 的两个实数根。
(1) 当 $m$ 为何值时，四边形 $ABCD$ 是菱形？并求此菱形的边长；
(2) 若 $AB$ 的长为 $2$，则 $\square ABCD$ 的周长是多少？

答案：
(1)菱形 ABCD 的边长是$\frac {1}{2}$.
(2)$□ABCD$的周长是 5.