《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

8. 对于符号“※”，我们作如下规定：
$a※b=a^{2}-b^{2}+2$。
如：$2※3=2^{2}-3^{2}+2=4-9+2=-3$。
(1)若$(\sqrt{2}x)※(x-5)=1$，求x的值；$x_{1}=2,x_{2}=-12$
(2)若$(2x+1)※x=10$，求x的值。$x_{1}=1,x_{2}=-\frac {7}{3}$

答案：
(1)$x_{1}=2,x_{2}=-12$.
(2)$x_{1}=1,x_{2}=-\frac {7}{3}$.

9. 若方程$x^{2}-9x+18=0$的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为15。

答案： 15

10. 把代数式通过配、凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法。
如：$M=a^{2}-2a-1$，利用配方法求M的最小值。
解：$a^{2}-2a-1=a^{2}-2a+1-2=(a-1)^{2}-2$。
$\because (a-1)^{2}≥0$，$\therefore$当$a=1$时，M有最小值-2。
请根据以上材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：$x^{2}-x+$$\frac{1}{4}$；
(2)若$M=2x^{2}-8x$，求M的最小值；
解：$M = 2x^{2}-8x = 2(x^{2}-4x)=2(x^{2}-4x + 4 - 4)=2[(x - 2)^{2}-4]=2(x - 2)^{2}-8$。$\because (x - 2)^{2}≥0$，$\therefore$当$x = 2$时，$M$有最小值-8。
(3)若$N=\frac{1}{4}x^{2}+x-1$，求N的最小值。
解：$N=\frac{1}{4}x^{2}+x - 1=\frac{1}{4}(x^{2}+4x)-1=\frac{1}{4}(x^{2}+4x + 4 - 4)-1=\frac{1}{4}[(x + 2)^{2}-4]-1=\frac{1}{4}(x + 2)^{2}-2$。$\because (x + 2)^{2}≥0$，$\therefore$当$x=-2$时，$N$有最小值-2。

答案：
(1)$\frac{1}{4}$;
(2)解：$M = 2x^{2}-8x = 2(x^{2}-4x)=2(x^{2}-4x + 4 - 4)=2[(x - 2)^{2}-4]=2(x - 2)^{2}-8$。$\because (x - 2)^{2}≥0$，$\therefore$当$x = 2$时，$M$有最小值$-8$。
(3)解：$N=\frac{1}{4}x^{2}+x - 1=\frac{1}{4}(x^{2}+4x)-1=\frac{1}{4}(x^{2}+4x + 4 - 4)-1=\frac{1}{4}[(x + 2)^{2}-4]-1=\frac{1}{4}(x + 2)^{2}-2$。$\because (x + 2)^{2}≥0$，$\therefore$当$x=-2$时，$N$有最小值$-2$。

11. 若一元二次方程$4x^{2}+12x-1147=0$的两根为a，b，且$a＞b$，则$3a+b$的值为48。

答案： 48

12. 已知$3x-y=3a^{2}-6a+9$，$x+y=a^{2}+6a-9$，若$x≤y$，则实数a的值为______3。

答案： 3