《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

7. 下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形。其中四个顶点都在同一个圆上的有②④。(填序号)

答案： ②④

8. 如图，OA，OB为⊙O的半径，C，D分别是OA，OB的中点，连接AD，BC交于点E。求证：
(1)∠A=∠B；
证明：因为OA，OB为⊙O的半径，所以OA=OB。
又因为C，D分别是OA，OB的中点，所以OC=1/2OA，OD=1/2OB，则OC=OD。
在△ODA和△OCB中，{OA=OB,∠AOD=∠BOC,OD=OC}（对顶角相等），根据SAS定理可得△ODA≌△OCB。
所以∠A=∠B。
(2)AE=BE。
证明：连接AB。
因为OA=OB，所以∠OAB=∠OBA（等边对等角）。
又因为已证∠A=∠B，即∠OAD=∠OBC，所以∠OAB-∠OAD=∠OBA-∠OBC，即∠EAB=∠EBA。
根据等角对等边，可得AE=BE。

答案： 【解析】：
(1) 因为 $OA$，$OB$ 为$\odot O$的半径，所以 $OA = OB$。
又因为 $C$，$D$ 分别是 $OA$，$OB$ 的中点，所以 $OC=\frac{1}{2}OA$，$OD=\frac{1}{2}OB$，则 $OC = OD$。
在$\triangle ODA$和$\triangle OCB$中，$\left\{\begin{array}{l}OA = OB\\\angle AOD=\angle BOC\\OD = OC\end{array}\right.$（对顶角相等），根据 $SAS$（边角边）定理可得$\triangle ODA\cong\triangle OCB$。
所以$\angle A=\angle B$。
(2) 连接 $AB$。
因为 $OA = OB$，所以$\angle OAB=\angle OBA$（等边对等角）。
又因为已证$\angle A=\angle B$，即$\angle OAD=\angle OBC$，所以$\angle OAB-\angle OAD=\angle OBA - \angle OBC$，即$\angle EAB=\angle EBA$。
根据等角对等边，可得 $AE = BE$。
【答案】：
(1) $\angle A=\angle B$得证。
(2) $AE = BE$得证。

9. 如图，点A，D，G，M在以点O为圆心的半圆上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形。设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是 (D)

A. a＞b＞c
B. b＞c＞a
C. c＞a＞b
D. a=b=c

答案： D

10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长为$5\sqrt{3}$。

答案： $5\sqrt{3}$

11. 【问题情境】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①)。假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒。
【问题设置】把筒车抽象为一个半径为r的⊙O。如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米。当t=0时，某盛水筒恰好位于水面点A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处。(参考数据，√2≈1.414，√3≈1.732)
【问题解决】
(1)求该盛水筒从点A处逆时针旋转到点B处时，∠BOM的度数；45°
(2)求该盛水筒旋转至点B处时，它到水面的距离。(结果精确到0.1米)0.3 米

答案：
(1)$∠BOM = 45^{\circ}$.
(2)0.3 米.