《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

1. 某海鲜排档购进一批大龙虾和海胆,它们的进货单价之和是360元.大龙虾的零售单价比进货单价多40元,海胆的零售单价比进货单价的1.5倍少60元,按零售单价购买2只大龙虾和4个海胆,共需要1200元.
(1)求大龙虾和海胆的进货单价;
(2)该海鲜排档平均每天卖出20只大龙虾和12个海胆.经调查发现,大龙虾的零售单价每降低1元,平均每天就可多售出2只.海鲜排档决定把大龙虾的零售单价下降$a(a＞0)$元,海胆的零售单价和销量都不变.在不考虑其他因素的条件下,当a为多少时,海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元?

答案：
(1)大龙虾的进货单价为 200 元,海胆的进货单价为 160 元.
(2)当 a 为 15 时,海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为 1490 元.

2. (2024重庆二模)芬芳的鲜花,能驱散内心的疲惫,让人心灵得到放松,感受生活的美好.某花店抓住市场需求,计划第一次购进玫瑰和向日葵共300支,每支玫瑰的进价为2元,售价定为5元,每支向日葵的进价为4元,售价定为10元.
(1)若花店在无损耗的情况下将玫瑰和向日葵全部售完,要求总获利不低于1200元,则花店最多购进玫瑰多少支?
(2)花店在第二次购进玫瑰和向日葵时,两种花的进价不变.由于销量火爆,花店决定购进玫瑰和向日葵共360支,其中玫瑰的进货量在(1)中的最多进货量的基础上增加10m支,售价比第一次提高m元,向日葵售价不变,但向日葵在运输过程中有10%已经损坏,无法进行销售,最终第二批花全部售完后销售总利润为1800元.求m的值.

答案： $(1)$ 求花店最多购进玫瑰的支数
设购进玫瑰$x$支，则购进向日葵$(300 - x)$支。
- **计算每支花的利润：
每支玫瑰的利润为售价减去进价，即$5 - 2 = 3$元。
每支向日葵的利润为$10 - 4 = 6$元。
根据总获利不低于$1200$元列不等式：
总获利等于玫瑰的获利加上向日葵的获利，可列不等式$3x + 6(300 - x) \geq 1200$。
解不等式$3x + 6(300 - x) \geq 1200$：
去括号得$3x + 1800 - 6x \geq 1200$；
移项得$3x - 6x \geq 1200 - 1800$；
合并同类项得$-3x \geq -600$；
系数化为$1$得$x \leq 200$。
所以花店最多购进玫瑰$200$支。
$(2)$ 求$m$的值
分析第二次购进两种花的数量：
由$(1)$知第一次最多购进玫瑰$200$支，第二次玫瑰的进货量为$(200 + 10m)$支，则向日葵的进货量为$360 - (200 + 10m)=(160 - 10m)$支。
计算第二次销售两种花的利润：
玫瑰的利润：每支玫瑰利润为$(5 + m - 2)=(3 + m)$元，数量为$(200 + 10m)$支，所以玫瑰的利润为$(3 + m)(200 + 10m)$元。
向日葵的利润：向日葵实际销售数量为$(160 - 10m)×(1 - 10\%)=(160 - 10m)×0.9$支，每支向日葵利润为$10 - 4 = 6$元，所以向日葵的利润为$6×(160 - 10m)×0.9$元。
根据总利润为$1800$元列方程：
$(3 + m)(200 + 10m)+6×(160 - 10m)×0.9 = 1800$。
化简方程：
$\begin{aligned}(3 + m)(200 + 10m)+(960 - 60m)×0.9&= 1800\\600 + 30m + 200m + 10m^{2}+864 - 54m&= 1800\\10m^{2}+(30m + 200m - 54m)+(600 + 864 - 1800)&= 0\\10m^{2}+176m - 336&= 0\\5m^{2}+88m - 168&= 0\\(m - 2)(5m + 84)&= 0\end{aligned}$
求解方程：
$m - 2 = 0$或$5m + 84 = 0$，解得$m_{1} = 2$，$m_{2}=-\frac{84}{5}$（因为$m$表示售价提高的金额，不能为负数，舍去）。
所以$m$的值为$2$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{200}$支；$(2)$$\boldsymbol{2}$。