《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

5. (1) 把二次函数$y = 2x^2$的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的抛物线的解析式为$y = 2(x + 1)^2 - 2$；
(2) 将抛物线$y = (x - 1)^2 + 2$先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得的抛物线的解析式为$y = (x + 2)^2 - 2$.

答案：
(1)$y = 2(x + 1)^2 - 2$;
(2)$y = (x + 2)^2 - 2$

1. 二次函数$y = -(x + 1)^2 + 2$图象的顶点所在的象限是 (B)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： B

2. 在平面直角坐标系中，将二次函数$y = (x + 1)^2 + 3$的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为 (B)
A. $y = (x + 3)^2 + 2$
B. $y = (x - 1)^2 + 2$
C. $y = (x - 1)^2 + 4$
D. $y = (x + 3)^2 + 4$

答案： B

3. 关于二次函数$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$的图象与性质，下列结论错误的是 (D)
A. 图象开口向下
B. 当$x = 3$时，$y$有最大值$-2$
C. 当$x ＞ 3$时，$y$随$x$的增大而减小
D. 图象的顶点坐标为$(-3, -2)$

答案： D

4. (1) 将抛物线$y = 2x^2$向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数解析式为$y = 2(x + 1)^2 - 2$；
(2) 将抛物线$y = 3(x - 4)^2 + 2$向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的抛物线的解析式为$y = 3(x - 5)^2 - 1$.

答案：
(1)$y = 2(x + 1)^2 - 2$;
(2)$1$,$3$

5. (1) 若抛物线$y = (x + m)^2 + m - 1$的对称轴是直线$x = 1$，则它的顶点坐标是$(1,-2)$；
(2) 若抛物线$y = (x - m)^2 + 4 - m^2$的顶点在$x$轴的负半轴上，则$m$的值为$-2$；
(3) 若抛物线$y = 2(x - m)^2 + 6 - 3m$的顶点在第四象限，则$m$的取值范围是$m ＞ 2$.

答案：
(1)$(1,-2)$;
(2)$-2$;
(3)$m ＞ 2$

6. 已知二次函数$y = 2(x - 5)^2 + 3$，当$x$分别取$x_1$，$x_2(x_1 \neq x_2)$时，函数值相等，则当$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$时，函数值$y$为3.

答案： 3

7. 已知二次函数$y = (x - m)^2 - 1$.
(1) 当该二次函数的图象经过坐标原点$O(0, 0)$时，求该二次函数的解析式；$y = x^2 + 2x$或$y = x^2 - 2x$
(2) 如图，当$m = 2$时，该抛物线与$y$轴交于点$C$，顶点为$D$，求$C$，$D$两点的坐标.$C(0,3)$,$D(2,-1)$

答案：
(1)$y = x^2 + 2x$或$y = x^2 - 2x$.
(2)$C(0,3)$,$D(2,-1)$.