《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

9. 已知一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$.
(1)若$a+b+c=0$，则方程必有一根是$x = 1$；
(2)若$a-b+c=0$，则方程必有一根是$x = -1$；
(3)若$x=0$是方程的根，则$c$的值为0.

答案：
(1)$x = 1$；
(2)$x = -1$；
(3)0

10. 若$2n(n≠0)$是关于$x$的方程$x^{2}-2mx+2n=0$的根，则$m-n$的值为$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

11. 若$m$是方程$x^{2}-2x-1=0$的根，则$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=$6.

答案： 6

12. 已知$a$是方程$x^{2}-2025x+1=0$的一个根，试求$a^{2}-2024a+\frac{2025}{a^{2}+1}$的值.

答案： $a^{2}-2024a+\frac{2025}{a^{2}+1}=2024$。

例1 解下列方程:
(1) $ 3 x^{2}-27=0 $; $x_{1}=3,x_{2}=-3$
(2) $ \frac{1}{3}(x+1)^{2}=4 $. $x_{1}=2\sqrt {3}-1,x_{2}=-2\sqrt {3}-1$

答案：
(1)$x_{1}=3,x_{2}=-3$;
(2)$x_{1}=2\sqrt {3}-1,x_{2}=-2\sqrt {3}-1$.