《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

2. 二次函数 $ y = ax^2 (a \neq 0) $ 的图象和性质

注：在二次函数 $ y = ax^2 (a \neq 0) $ 中，当$a\gt0$时，在对称轴右侧（$x\gt0$），$y$随$x$的增大而增大；在对称轴左侧（$x\lt0$），$y$随$x$的增大而减小。当$a\lt0$时，在对称轴右侧（$x\gt0$），$y$随$x$的增大而减小；在对称轴左侧（$x\lt0$），$y$随$x$的增大而增大。$|a|$确定抛物线的形状和开口大小，$|a|$相同，抛物线的形状和开口大小相同，$|a|$越大，抛物线的开口反而越小，图象越靠近 $ y $ 轴。

答案： 【解析】：对于二次函数$y = ax^2(a\gt0)$，因为抛物线开口向上，对称轴是$y$轴，所以在对称轴右侧（$x\gt0$），$y$随$x$的增大而增大；在对称轴左侧（$x\lt0$），$y$随$x$的增大而减小。对于二次函数$y = ax^2(a\lt0)$，因为抛物线开口向下，对称轴是$y$轴，所以在对称轴右侧（$x\gt0$），$y$随$x$的增大而减小；在对称轴左侧（$x\lt0$），$y$随$x$的增大而增大。
【答案】：增大；减小；减小；增大

例 1 已知二次函数 $ y = (k + 1)x^{k^2 - k - 10} $。
(1) 若它的图象有最高点，求 $ k $ 的值；
(2) 若当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，求 $ k $ 的值。

答案：
(1) $ k = - 3 $.
(2) $ k = 4 $.

1. 对于函数 $ y = 6x^2 $，下列说法正确的是（C）
A. $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
B. 函数有最大值 $ 0 $
C. 当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D. 该函数图象关于 $ x $ 轴对称

答案： C

2. (1) 若二次函数 $ y = (m - 3)x^2 $ 的图象开口向上，则 $ m $ 的取值范围是$ m ＞ 3 $；
(2) 若二次函数 $ y = (k + 2)x^2 $ 的图象有最高点，则 $ k $ 的取值范围是$ k ＜ - 2 $。

答案：
(1) $ m ＞ 3 $;
(2) $ k ＜ - 2 $

3. 利用函数 $ y = -x^2 $ 的图象回答下列问题：
(1) 当 $ x = 3 $ 时，$ y = $$-9$；
(2) 当 $ y = -8 $ 时，$ x = $$\pm 2\sqrt{2}$；
(3) 当 $ -2 \leq x \leq 3 $ 时，$ y $ 的取值范围是$-9 \leq y \leq 0$。

答案：
(1) $ - 9 $;
(2) $ \pm 2 \sqrt { 2 } $;
(3) $ - 9 \leq y \leq 0 $