《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

例2 如图,AB为$\odot O$的直径,PQ与$\odot O$相切,切点为T,$AC⊥PQ$于点C,交$\odot O$于点D.求证:AT平分$∠BAC.$

证明:连接OT，因为PQ是$\odot O$的切线，所以$OT\perp PQ$，又$AC\perp PQ$，则$OT// AC$，所以$\angle TAC=\angle ATO$，因为$OA = OT$，所以$\angle OAT=\angle ATO$，故$\angle OAT=\angle TAC$，即AT平分$\angle BAC$

答案： 【解析】：连接$OT$，因为$PQ$与$\odot O$相切，切点为$T$，根据切线的性质可知$OT\perp PQ$。又因为$AC\perp PQ$，所以$OT// AC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle TAC = \angle ATO$。因为$OA = OT$，根据等边对等角可知$\angle OAT=\angle ATO$，所以$\angle OAT=\angle TAC$，即$AT$平分$\angle BAC$。
【答案】：连接$OT$，因为$PQ$是$\odot O$的切线，所以$OT\perp PQ$，又$AC\perp PQ$，则$OT// AC$，所以$\angle TAC=\angle ATO$，因为$OA = OT$，所以$\angle OAT=\angle ATO$，故$\angle OAT=\angle TAC$，即$AT$平分$\angle BAC$。

4. 如图,PA,PB是$\odot O$的切线,A,B为切点,$AP=PB$.若$∠AOB=128^{\circ }$,则$∠P$的度数为(B)

A. $32^{\circ }$
B. $52^{\circ }$
C. $64^{\circ }$
D. $72^{\circ }$

答案： B

5. 如图,AB是$\odot O$的直径,C,D是$\odot O$上的点,$∠CDB=24^{\circ }$,过点C作$\odot O$的切线交AB的延长线于点E,则$∠E$的度数为$42^{\circ}$.

答案： $42^{\circ}$

6. (2024包头)如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,点O在四边形ABCD内部,过点C作$\odot O$的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若$∠AOB=140^{\circ },∠BCP=35^{\circ }$,则$∠ADC$的度数为$105^{\circ}$.

答案： $105^{\circ}$

1. 下列说法正确的是(C)
A. 垂直于切线的弦必经过切点
B. 垂直于半径的直线是圆的切线
C. 圆的切线垂直于过切点的半径
D. 垂直于切线的直线必经过圆心

答案： C

2. (2024江北区期中)如图,AB是$\odot O$的切线,B为切点,连接AO交$\odot O$于点C,延长AO交$\odot O$于点D,连接BD.若$∠A=2∠D$,且$AB=4$,则AC的长是(D)

答案： D

3. 如图所示是不倒翁的主视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA,PB分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O.若$∠OAB=28^{\circ }$,则$∠APB$的度数为(C)

A. $28^{\circ }$
B. $50^{\circ }$
C. $56^{\circ }$
D. $62^{\circ }$

答案： C

4. 如图,AB是$\odot O$的切线,B为切点,连接AO交$\odot O$于点C,延长AO交$\odot O$于点D,连接BD.若$∠A=∠D$,且$AC=3$,则AB的长度是(C)

A. 3
B. 4
C. $3\sqrt {3}$
D. $4\sqrt {2}$

答案： C

5. 如图,AB是$\odot O$的直径,点C,E在$\odot O$上,A是劣弧CE的中点,过点A作$\odot O$的切线交BC的延长线于点D,连接AC,若$∠ADB=58^{\circ }$,则$∠ACE$的度数为$32^{\circ}$.

答案： $32^{\circ}$