《2025年启航新课堂九年级数学上册人教版》

1. 二次函数的定义
一般地，形如$y = ax^{2}+bx + c$(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

答案： 1. $y = ax^{2}+bx + c$；自变量；二次项系数；一次项系数；常数项。

例1 已知函数y=(m+3)$x^{m^{2}+2m - 1}$+x - 5是关于x的二次函数，求m的值。

答案： $ m = 1 $.

1. 下列函数中，是二次函数的是 (A)
A. y=$x^{2}$
B. y=ax(x - 1)
C. y=$- \frac{1}{x^{2}}$
D. y=$x^{2}$ - (x + 1)$^{2}$

答案： A

2. 将二次函数y=2(x - 2)(x + 3) - 3x化为一般形式为$ y = 2x^{2} - x - 12 $，它的二次项系数为2，一次项系数为-1，常数项为-12。

答案： $ y = 2x^{2} - x - 12 $, 2, -1, -12

3. (1)若关于x的函数y=(2 - a)$x^{2}$ - x是二次函数，则a的取值范围是$ a \neq 2 $；

答案：
(1) $ a \neq 2 $;

(2)若关于x的函数y=(3 - m)$x^{m^{2}-7}$ - x + 1是二次函数，则m的值为-3。

答案：
(2) -3

例2 如图，矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将长和宽都增加xcm，那么面积增加y$cm^{2}$。
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当长和宽都增加多少时，面积增加8$cm^{2}$?

(1)$ y = x^{2} + 7x $
(2)1cm

答案：
(1) $ y = (4 + x)(3 + x) - 12 = x^{2} + 7x $.
(2) 当长和宽都增加 1cm 时, 面积增加 $ 8cm^{2} $.