《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册苏科版》

16. 一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系为$y = -\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$，则他将铅球推出的水平距离是_______m.

答案： 10 [解析]当y = 0时,-$\frac{1}{12}x²+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$,解得$x_1 = 10$,$x_2 = -2$(不合题意,舍去),
所以推铅球的距离为10 m.
方法诠释 本题主要考查二次函数的应用,把函数问题转化为方程问题来解,渗透了函数与方程相结合的解题思想.

17. 四条长短不同的线段长分别为10、6、x、2，用它们拼成如图所示的两个直角三角形，且AB、CD是其中两条线段，则x可以取的值有_______个.

答案： 4 [解析]过点B作BE//CD交AC的延长线于点E,
根据题意,得∠ACD = ∠D = 90°,
∴BD//AC,
∴四边形CDBE是矩形,
∴BE = CD,CE = BD,
∠E = 90°,
∴AB²=(AC + CE)² + BE²=(AC + BD)² + CD².
∵∠ACD = ∠D = 90°,
∴AB是最长边,长为10或x,x＞0.
①若AB = x,CD = 10时,则AE = 6 + 2 = 8,
∴AE² + BE² = AB²,即8² + 10² = x²,解得x = 2$\sqrt{41}$.
同理:②若AB = x,CD = 6时,则AE = 12,
∴6² + 12² = x²,解得x = 6$\sqrt{5}$.
③若AB = x,CD = 2时,则AE = 16,
∴2² + 16² = x²,解得x = 2$\sqrt{65}$.
④若AB = 10,CD = 6时,则AE = x + 2,
∴(x + 2)² + 6² = 10²,解得x = 6(舍去).
⑤若AB = 10,CD = x时,则AE = 8,
∴x² + 8² = 10²,解得x = 6(舍去).
⑥若AB = 10,CD = 2时,则AE = 6 + x,
∴(6 + x)² + 2² = 10²,解得x = 4$\sqrt{6}-6$.
综上所述,x的值可取4个.
解后反思 本题考查了勾股定理的应用、矩形的判定与性质,解题的关键是注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用,小心别漏解.

18.(2023·宁波中考)如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连接AD，BE = 3，BD = 3$\sqrt{5}$，P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为_______.

答案：
6或2$\sqrt{30}$ [解析]本题考查了与圆和等腰三角形有关的计算.
如图
(1),连接OD.

∵半圆O与BC相切于点D,
∴OD⊥BC.
在Rt△OBD中,OB = OE + BE = OD + 3,BD = 3$\sqrt{5}$,由OB² = BD² + OD²,
得(OD + 3)²=(3$\sqrt{5}$)² + OD²,解得OD = 6,
∴AO = EO = OD = 6.
①当AP = PD时,此时点P与点O重合,
∴AP = AO = 6;
②如图
(2),当AP' = AD时,

∵∠C = 90°,OD⊥BC,
∴OD//AC,
∴△BOD∽△BAC,
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{BO}{BA}$,
∴$\frac{6}{AC}=\frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}+CD}=\frac{3 + 6}{3 + 6 + 6}$,
∴AC = 10,CD = 2$\sqrt{5}$,
∴AD=$\sqrt{AC² + CD²}=2\sqrt{30}$,
∴AP' = AD = 2$\sqrt{30}$;
③如图
(3),当DP'' = AD时,

∵AD = 2$\sqrt{30}$,
∴DP'' = AD = 2$\sqrt{30}$.
∵BD = 3$\sqrt{5}$,
∴DP''＞BD,即点P''在AB的延长线上,不符合题意.
综上所述,当△ADP为等腰三角形时,AP的长为6或2$\sqrt{30}$.
一题多解 本题在求圆的半径时,可以直接利用切割线定理,由BD是切线,BA是割线,得BD² = BE·BA,即45 = 3BA,得到BA = 15,AE = 12,OA = 6.

19.(6分)计算：
(1)$2\sin 60^{\circ}+3\tan 30^{\circ}-\tan ^{2}45^{\circ}$；
(2)已知$3\tan \alpha-\sqrt{3}=0$，求锐角α的度数.

答案：
(1)原式 = 2×$\frac{\sqrt{3}}{2}+3×\frac{\sqrt{3}}{3}-1²=\sqrt{3}+\sqrt{3}-1 = 2\sqrt{3}-1$.
(2)
∵3tanα - $\sqrt{3}=0$,
∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∵α为锐角,
∴α = 30°.

20.(6分)某学校开通了教育互联网在线学习平台. 为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七(1)班和七(2)班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A(平板)、B(电脑)、C(手机)，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图. 请根据图中信息解答下列问题.
(1)此次被调查的学生总人数为_______人；
(2)求扇形统计图中种类C的圆心角，并补全折线图；
(3)若该校七年级学生共有1 000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中使用设备C的学生约有多少人.

答案：

(1)100 [解析]由扇形统计图知使用设备B的人数所占比例为58%,从折线图知使用设备B的总人数为26 + 32 = 58,
所以此次被调查的学生总人数为58÷58% = 100.
(2)由折线图知使用设备A的人数 = 18 + 14 = 32,
故其比例为32÷100×100% = 32%,
所以使用设备C的比例 = 1 - 58% - 32% = 10%,
所以种类C的扇形的圆心角 = 360°×10% = 36°.
七
(1)班使用设备C的人数 = 10%×100 - 2 = 8,补全折线图如下:

(3)1000×10% = 100(人).
故该校七年级学生中使用设备C的学生约有100人.