《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册苏科版》

21.(6分)如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠ACD = ∠B = ∠BAE.
(1)求证：$\frac{AD}{BC}=\frac{DE}{AC}$；
(2)当点E为CD中点时，求证：$\frac{AE^{2}}{CE^{2}}=\frac{AB}{AD}$.

答案：
(1)
∵∠ACD = ∠B = ∠BAE，∠BAC = ∠BAE + ∠CAE，∠AED = ∠BAC + ∠CAE，
∴∠AED = ∠BAC.
∵∠DAE = ∠B，
∴△AED∽△BAC，
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{DE}{AC}$.
(2)
∵∠ADE = ∠CDA，∠DAE = ∠DCA，
∴△DAE∽△DCA，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{AD}$.
∵DE = EC，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{AE^{2}}{CE^{2}}=\frac{AC^{2}}{AD^{2}}$.
∵∠DAC = ∠BAC，∠ACD = ∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴$AC^{2}=AD\cdot AB$.
∴$\frac{AE^{2}}{CE^{2}}=\frac{AD\cdot AB}{AD^{2}}=\frac{AB}{AD}$.

22.(6分)(2023·绍兴中考)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E.
(1)若∠EAC = 25°，求∠ACD的度数；
(2)若OB = 2，BD = 1，求CE的长.

答案：
(1)
∵AE⊥ED于点E，
∴∠AEC = 90°，
∴∠ACD = ∠AEC + ∠EAC = 90° + 25° = 115°.
(2)
∵CD是⊙O的切线，
∴半径OC⊥DE，
∴∠OCD = 90°.
∵OC = OB = 2，BD = 1，
∴OD = OB + BD = 3，
∴CD = $\sqrt{OD^{2}-OC^{2}}=\sqrt{5}$.
∵∠OCD = ∠AEC = 90°，
∴OC//AE，
∴$\frac{CD}{CE}=\frac{OD}{OA}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{CE}=\frac{3}{2}$，
∴CE = $\frac{2\sqrt{5}}{3}$.