《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册苏科版》

8. (2024·南通海门区中南中学期中)二次函数y = ax² + 1(a＜0)，线段AB中，A(-1，-1)、B(3，0)，将线段AB向下平移3个单位得到线段MN，若y = ax² + 1(a＜0)的图像与线段MN只有一个公共点，则a的取值范围是( ).
A. a＜ - 5
B. - $\frac{4}{9}$≤a＜0
C. - 5＜a≤ - $\frac{4}{9}$
D. - 5≤a＜0

答案： C [解析]
∵A( - 1, - 1)，B(3,0)，线段AB向下平移3个单位，得到线段MN，
∴M( - 1, - 4)，N(3, - 3). 当图像左边过点M时，将M( - 1, - 4)代入y=ax²+1，得a+1= - 4，解得a= - 5；当图像右边过点N时，将N(3, - 3)代入y=ax²+1，得9a+1= - 3，解得a= - $\frac{4}{9}$，
∴当 - 5＜a≤ - $\frac{4}{9}$时，二次函数y=ax²+1(a＜0)的图像与线段MN只有一个公共点. 故选C.

9. 中考新考法 满足条件的结论开放(2024·泰州靖江一模)若一个二次函数的最小值为3，则该二次函数的表达式可以是________(写出一个符合题意的函数表达式即可).

答案： y=x²+3(答案不唯一)

10. 把二次函数y = 2x²的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为________.

答案： y=2(x - 1)² - 2 [解析]由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x²的图像向右平移1个单位长度所得抛物线的表达式为y=2(x - 1)²；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2(x - 1)²向下平移2个单位长度所得抛物线的表达式为y=2(x - 1)² - 2.
归纳总结 本题主要考查了二次函数的图像与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减. 并用规律求函数表达式.

11. (2023·南通海安一模)已知二次函数y = ax² + bx + c(a、b、c为常数且a≠0)的y与x的部分对应值如下表：

则关于x的一元二次方程ax² + bx + c = 0的根是________.

答案： x= - 4或x=1 [解析]由表可得，抛物线对称轴为直线x=$\frac{-5 + 2}{2}$= - $\frac{3}{2}$.
∵抛物线经过( - 4,0)，对称轴为直线x= - $\frac{3}{2}$，
∴抛物线经过(1,0)，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0的根是x₁= - 4，x₂=1.

12. 中考新考法 新定义问题 定义：[a，b，c]为二次函数y = ax² + bx + c(a≠0)的特征数，下面给出特征数为[m，1 - m，2 - m]的二次函数的一些结论：①当m = 1时，函数图像的对称轴是y轴；②当m = 2时，函数图像过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＜$\frac{1}{2}$时，y随x的增大而增大. 其中所有正确结论的序号是________.

答案： ①②③④ [解析]由特征数的定义，得特征数为[m,1 - m,2 - m]的二次函数的表达式为y=mx²+(1 - m)x+2 - m.
∵此抛物线的对称轴为直线x= - $\frac{b}{2a}$= - $\frac{1 - m}{2m}$=$\frac{m - 1}{2m}$，
∴当m=1时，对称轴为直线x=0，即y轴，故①正确；
∵当m=2时，此二次函数表达式为y=2x² - x，令x=0，则y=0，
∴函数图像过原点，故②正确；
∵当m＞0时，二次函数图像开口向上，函数有最小值，故③正确；
∵m＜0，
∴对称轴x=$\frac{m - 1}{2m}$=$\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{2m}$，抛物线开口向下，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大. 即x＜$\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{2m}$时，y随x的增大而增大. 而$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{2m}$，
∴当x＜$\frac{1}{2}$时，y随x的增大而增大，故④正确. 综上所述，所有正确结论的序号为①②③④.

13. 如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y = - 0.2x² + x + 2.25运行，然后准确落入篮框内，已知篮框的中心离地面的高度为3.05 m，则他距篮框中心的水平距离OH是________m.
　　 　　

答案： 4 [解析]当y=3.05时，3.05= - 0.2x²+x+2.25，解得x₁=1，x₂=4. 故他距篮框中心的水平距离OH是4m.

14. 教材P37复习题T14·变式 把二次函数y = x² + 4x + m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________.

答案： m＞3 [解析]
∵把二次函数y=x²+4x+m=(x+2)²+m - 4的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴平移后图像的表达式为y=(x+2 - 3)²+m - 4+1，
∴平移后图像的表达式为y=x² - 2x+m - 2.
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴△=4 - 4(m - 2)＜0，
∴m＞3.