《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册苏科版》

7. 原创素养题 应用意识 如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6 m的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一名身高1.6 m的女孩站在点P处，OP = 2 m，若女孩以2 m为半径绕着电线杆走一个圆圈，则女孩的影子扫过的图形的面积为( ).


A. $\frac{\pi}{9}$ m²
B. $\frac{4}{25}\pi$ m²
C. $\frac{44}{25}\pi$ m²
D. $\frac{28}{5}\pi$ m²

答案： C

8. 如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在△MNR的边上移动，MN//y轴，NR//x轴，M点坐标为( - 6， - 2)，MN = 2，NR = 7. 若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则a - b + c的最大值是( ).


A. 15
B. 18
C. 23
D. 32

答案： C [解析]
∵M点坐标为(-6,-2),MN = 2,
∴点N坐标为(-6,-4).
∵NR = 7,
∴点R坐标为(1,-4).
当抛物线顶点移动到点R时,y = a(x - 1)² - 4.
由题意,得此时点B坐标为(3,0),
将(3,0)代入y = a(x - 1)² - 4,得0 = 4a - 4,解得a = 1. 当抛物线顶点在M点时,a - b + c取得最大值,抛物线表达式为y=(x + 6)² - 2,将x = -1代入y=(x + 6)² - 2,得y = 5² - 2 = 23. 故选C.
解后反思 本题考查二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数与方程的关系、二次函数的顶点式、待定系数法求函数表达式.

9. 已知△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC = 1 cm，对应边EF的长是_______.

答案： $\sqrt{2}$ cm [解析]
∵△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的面积之比为1:2,
∴(BC:EF)² = 1:2,即BC:EF = 1:$\sqrt{2}$.
∵BC = 1 cm,
∴EF=$\sqrt{2}$ cm.

10. 某班有5位学生参加志愿服务次数为7、7、8、10、13，则这5位学生志愿服务次数的中位数为_______.

答案： 8

11.(2024·浙江中考)有8张卡片，上面分别写着1、2、3、4、5、6、7、8，从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是_______.

答案： $\frac{1}{4}$

12.(2023·广西中考)如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约_______m.(结果取整数，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)

答案： 21 [解析]
∵CA = CB,CD⊥AB,
∴AD = BD=$\frac{1}{2}AB$.
在Rt△ACD中,∠CAD = 37°,CD = 3 m,
∴AC=$\frac{CD}{sin37°}≈\frac{3}{0.6}=5(m)$,AD=$\frac{CD}{tan37°}≈\frac{3}{0.75}=4(m)$,
∴CA = CB≈5 m,AB = 2AD≈8 m,
∴AC + CB + AB + CD≈5 + 5 + 8 + 3 = 21(m).
∴共需钢材约21 m.

13.(2024·宜宾中考)如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是_______.

答案：
2$\sqrt{5}+2$ [解析]连接BE交AC于O,如图:

∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠CBA = ∠BAE=(5 - 2)×180°÷5 = 108°,BC = AB = AE,
∴∠BAC = ∠ABE = ∠AEB=(180° - 108°)÷2 = 36°,
∴∠CBO = ∠ABC - ∠ABE = 108° - 36° = 72°,
∴∠BOC = 180° - ∠CBO - ∠BCA = 180° - 72° - 36° = 72°,
∴∠CBO = ∠BOC = 72°,
∴CO = BC = 4.
∵∠BAO = ∠CAB,∠ABO = 36° = ∠BCA,
∴△ABO∽△ACB,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AO}{AB}$,即$\frac{4}{AC}=\frac{AC - 4}{4}$,
解得AC = 2$\sqrt{5}+2$或AC = 2 - 2$\sqrt{5}$(负数,舍去),
显然AC = 2$\sqrt{5}+2＞OC = 4$,故AC = 2$\sqrt{5}+2$.

14.(2023·娄底中考)如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与x轴相交于点A(1，0)、点B(3，0)，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD//x轴时，CD = _______.

答案： 4 [解析]
∵抛物线y = ax² + bx + c与x轴相交于点A(1,0)、点B(3,0),
∴该抛物线的对称轴为直线x=$\frac{1 + 3}{2}=2$.
∵抛物线与y轴相交于点C,点D在抛物线上,CD//x轴,
∴点D的横坐标为2×2 - 0 = 4,
∴CD = 4 - 0 = 4.

15. 如图，在阳光下，某一时刻大树AB的影子的顶端落在墙DE上的C点，同一时刻1.2 m的标杆影长为3 m. 已知CD = 2 m，BD = 6 m，则大树的高度为_______m.

答案：
4.4 [解析]如图,过点C作CF⊥AB于点F,易得四边形BDCF为矩形,
∴CF = BD = 6 m,
BF = CD = 2 m.
∵同一时刻1.2 m的标杆影长为3 m,
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{1.2}{3}$,即$\frac{AF}{6}=\frac{1.2}{3}$,解得AF = 2.4,
∴AB = AF + BF = 2.4 + 2 = 4.4(m).

故大树的高度为4.4 m.
解题通法 测量不能到达顶部的物体的高度,通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.