《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册苏科版》

5.(2024·临夏州中考)如图，在△ABC中，AB = AC = 5，sin B = $\frac{4}{5}$，则BC的长是( ).

A. 3
B. 6
C. 8
D. 9

答案： B [解析]过点A作BC的垂线，垂足为M，在Rt△ABM中，sin B = $\frac{AM}{AB}$，
∴AM = 5×$\frac{4}{5}$ = 4，
∴BM = $\sqrt{5^{2}-4^{2}}$ = 3. 又AB = AC，
∴BC = 2BM = 6. 故选B.

6. 10个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点P、X、Y、S是小正方形的顶点，Q是边XY上一点，T是PQ与SY的交点. 若线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，则tan∠QTY的值为( ).

A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{8}{25}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{2}{5}$

答案：
B [解析]如图，过点Q作QM⊥PM，交PM于点M. 设小正方形的边长为1，QY = x，则QM = QY + MY = x + 1，
∵线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，
∴S△PQM + 1 = 10×$\frac{1}{2}$ = 5，
∴$\frac{1}{2}$PM·QM + 1 = 5，
∴$\frac{1}{2}$×5(x + 1) + 1 = 5，
∴x = $\frac{3}{5}$，
∴QM = $\frac{8}{5}$.
∵TY//PM，
∴∠QTY = ∠QPM，
∴tan∠QTY = tan∠QPM = $\frac{QM}{PM}$ = $\frac{8}{25}$. 故选B.

7. 如图，△ABC与△DEF都是等腰三角形，且AB = AC = 3，DE = DF = 2. 若∠B + ∠E = 90°，则△ABC与△DEF的面积比为( ).

A. 9∶4
B. 3∶2
C. $\sqrt{3}$∶$\sqrt{2}$
D. 3$\sqrt{3}$∶2$\sqrt{2}$

答案： A [解析]过点A作AM⊥BC，过点D作DN⊥EF.
∵△ABC与△DEF都是等腰三角形，
∴∠B = ∠C，∠E = ∠F.
∵∠B + ∠E = 90°，
∴∠B = ∠EDN.
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$AM·BC = $\frac{1}{2}$AB·sin B·2AB·cos B = AB²sin B·cos B，S△DEF = $\frac{1}{2}$DN·EF = $\frac{1}{2}$DE·cos∠EDN·2DE·sin∠EDN = DE²sin∠EDN·cos∠EDN，
∴S△ABC : S△DEF = AB² : DE² = 9 : 4. 故选A.

8. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为( ).

A. $\frac{\sqrt{3}}{5}$
B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案：
B [解析]把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE//AB，
∴∠APC = ∠EDC. 在△DCE中，有EC = $\sqrt{2^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{5}$，DC = $\sqrt{4^{2}+2^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$，DE = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5.
∵EC² + DC² = DE²，

∴△DCE为直角三角形，∠DCE = 90°，
∴cos∠APC = cos∠EDC = $\frac{DC}{DE}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$. 故选B.

9. 教材P113问题1·变式 (2024·宜兴一模)小明沿着坡度i = 1∶2.4的斜坡向上行走了26米，则他距离地面的垂直高度升高了________米.

答案： 10 [解析]设斜坡的高为x米(x＞0)，则水平距离为2.4x米，则x² + (2.4x)² = 26²，解得x = 10. 故他距离地面的垂直高度升高了10米.

10.(2023·南通如皋一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，tan A = $\frac{3}{5}$. 延长AB到D，使BD = $\frac{1}{2}$AB，连接CD，则tan∠BCD = ________.

答案：
$\frac{5}{9}$ [解析]如图，过点B作BE//AC，交CD于点E，

∵BE//AC，
∴$\frac{BE}{AC}$ = $\frac{BD}{AD}$，∠CBE = ∠ACB = 90°.
∵BD = $\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{BD}{AD}$ = $\frac{1}{3}$，
∴BE = $\frac{1}{3}$AC.
在Rt△BCE中，tan∠BCD = $\frac{BE}{BC}$ = $\frac{\frac{1}{3}AC}{BC}$，
∵tan A = $\frac{3}{5}$，
∴$\frac{BC}{AC}$ = $\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AC}{BC}$ = $\frac{5}{3}$，
∴tan∠BCD = $\frac{1}{3}$×$\frac{5}{3}$ = $\frac{5}{9}$.

11.(2024·上海闵行区期中)在Rt△ABC中，∠C = 90°，cos B = $\frac{5}{7}$，如果AB = 14，那么AC = ________.

答案： 4$\sqrt{6}$ [解析]
∵cos B = $\frac{5}{7}$，AB = 14，
∴cos B = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{BC}{14}$ = $\frac{5}{7}$，
∴BC = 10，
∴AC = $\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$ = $\sqrt{14^{2}-10^{2}}$ = 4$\sqrt{6}$.