《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册苏科版》

12.(2024·连云港期中)在△ABC中，$\sqrt{\sin A - 0.5}$ + |3tan B - 3| = 0，则△ABC是________三角形.

答案： 钝角 [解析]
∵$\sqrt{\sin A - 0.5}$ + |3tan B - 3| = 0，
∴sin A = 0.5，3tan B = 3，解得tan B = 1，
故∠A = 30°，∠B = 45°，
∴∠C = 105°，则△ABC是钝角三角形.

13. 已知⊙O的直径AB = 2，过点A的两条弦AC = $\sqrt{2}$，AD = $\sqrt{3}$，则∠CBD = ________.

答案：
15°或105° [解析]
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB = ∠ADB = 90°.
在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 2，AC = $\sqrt{2}$，
∴sin∠ABC = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ABC = 45°.
在△ABD中，∠ADB = 90°，AB = 2，AD = $\sqrt{3}$，
∴sin∠ABD = $\frac{AD}{AB}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ABD = 60°.
分两种情况：
①如图
(1)，当两条弦AC与AD在直径AB的同侧时，∠CBD = ∠ABD - ∠ABC = 15°；
②如图
(2)，当两条弦AC与AD在直径AB的异侧时，∠CBD = ∠ABD + ∠ABC = 105°.
综上所述，∠CBD = 15°或105°.

14.(2023·眉山中考)如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是________海里.

答案：
6($\sqrt{3}$ + 1) [解析]如图，过点C作CH⊥AB交AB延长线于点H.
∵∠DAC = 60°，∠CBE = 45°，
∴∠CAH = 90° - ∠CAD = 30°，∠CBH = 90° - ∠CBE = 45°，
∴∠BCH = 90° - 45° = 45° = ∠CBH，
∴BH = CH.
在Rt△ACH中，∠CAH = 30°，AH = AB + BH = 12 + CH，tan 30° = $\frac{CH}{AH}$，
∴CH = $\frac{\sqrt{3}}{3}$(12 + CH)，解得CH = 6($\sqrt{3}$ + 1).

15.(2023·襄阳宜城模拟)等腰三角形腰长为8，面积为16，则底角的度数为________.

答案：
75°或15° [解析]设该等腰三角形为△ABC，其中AB = AC = 8. 设其面积为S.
如图
(1)，当△ABC是锐角三角形时，过点C作边AB上的高CD，则CD = $\frac{2S}{AB}$ = $\frac{2×16}{8}$ = 4.
∵CD = $\frac{1}{2}$AC，
∴sin A = $\frac{CD}{AC}$ = $\frac{1}{2}$，
∴∠A = 30°，
∴∠B = $\frac{180° - 30°}{2}$ = 75°.


如图
(2)，当△ABC是钝角三角形时，过点C作边AB上的高CD，则CD = $\frac{2S}{AB}$ = $\frac{2×16}{8}$ = 4.
∵CD = $\frac{1}{2}$AC，
∴sin∠DAC = $\frac{CD}{AC}$ = $\frac{1}{2}$，
∴∠CAD = 30°.
∵∠B = ∠ACB，
∴∠B = $\frac{1}{2}$∠CAD = 15°.
综上所述，底角的度数为75°或15°.

16.(2023·常州中考)如图，在Rt△ABC中，∠A = 90°，点D在边AB上，连接CD. 若BD = CD，$\frac{AD}{BD}$ = $\frac{1}{3}$，则tan B = ________.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$ [解析]设AD = t，
∵BD = CD，$\frac{AD}{BD}$ = $\frac{1}{3}$，
∴BD = CD = 3t，
∴AC = $\sqrt{CD^{2}-AD^{2}}$ = 2$\sqrt{2}$t，AB = AD + BD = 4t，
∴tan B = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{2\sqrt{2}t}{4t}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

17. 如图是一张宽为m的矩形台球桌ABCD，一球从点M(点M在长边CD上)出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的点P. 如果MC = n，∠CMN = α，那么点P与点B的距离为________.

答案：
$\frac{m - n·\tan\alpha}{\tan\alpha}$ [解析]如图，由题意知∠NPB = ∠NMC = α. 在Rt△MNC中，MC = n，∠NMC = α，
∴NC = MC·tanα = n·tanα，
∴BN = BC - NC = m - n·tanα. 在Rt△BPN中，∠BPN = α，tanα = $\frac{BN}{PB}$，
∴PB = $\frac{BN}{\tan\alpha}$ = $\frac{m - n·\tan\alpha}{\tan\alpha}$.

18. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，∠ACB = 30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB₁C₁，B₁C₁交AC于点D，若AD = 2$\sqrt{2}$，则△ABC的周长等于________.

答案： 6 + 2$\sqrt{3}$ [解析]在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，∠ACB = 30°，则∠BAC = 60°.
∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB₁C₁，
∴∠B₁AD = 45°，∠AB₁D = 90°，故△AB₁D是等腰直角三角形. 在Rt△AB₁D中，AD = 2$\sqrt{2}$，根据勾股定理，得AB₁ = 2，所以AB = AB₁ = 2，所以AC = 2AB = 4，BC = 2$\sqrt{3}$，故△ABC的周长为AB + BC + AC = 2 + 2$\sqrt{3}$ + 4 = 6 + 2$\sqrt{3}$.

19.(6分)(2024·盐城中考)计算：| - 2| - (1 + π)⁰ + 4sin 30°.

答案： 原式 = 2 - 1 + 4×$\frac{1}{2}$ = 2 - 1 + 2 = 3.