《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册苏科版》

23.(6分)跨学科 凸透镜成像 (2024·淮安模拟)在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律. 如图MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点. 在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD. 光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点. 若焦距OF = 4，物距OB = 6，小蜡烛的高度AB = 1，求蜡烛的像CD的长度以及像CD与透镜MN之间的距离.

答案： 由题意，得OE = CD，AB⊥BO，EO⊥BO，CD⊥OD，
∴∠ABO = ∠EOB = ∠CDO = 90°.
∵∠AFB = ∠EFO，
∴△ABF∽△EOF，
∴$\frac{AB}{OE}=\frac{BF}{OF}$，
∴$\frac{1}{OE}=\frac{6 - 4}{4}$，
解得OE = 2，
∴OE = CD = 2.
∵∠AOB = ∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}$，
∴$\frac{1}{2}=\frac{6}{OD}$，
∴OD = 12，
∴蜡烛的像CD的长度为2，像CD与透镜MN之间的距离为12.

24.(8分)(2023·益阳中考改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC、GB.
(1)求证：△ADE≌△A′DG；
(2)求证：AF·GB = AG·FC.

答案：
(1)
∵∠A + ∠AGA′ = 90°，∠A′ + ∠AGA′ = 90°，
∴∠A = ∠A′.
在△ADE和△A′DG中，$\begin{cases}\angle A = \angle A′\\AD = A′D\\\angle ADE = \angle A′DG\end{cases}$，
∴△ADE≌△A′DG(ASA).
(2)
∵∠AFG = ∠ACB = 90°，∠FAG = ∠CAB，
∴△AFG∽△ACB，
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{AF}{AC}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AF}{AG}$.
∵∠FAC = ∠GAB，
∴△FAC∽△GAB，
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{FC}{GB}$，
∴AF·GB = AG·FC.