《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册苏科版》

23. (6分)(2023·苏州中考)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC = $\sqrt{5}$，BC = 2$\sqrt{5}$，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E.
(1)求证：△DBE∽△ABC；
(2)若AF = 2，求ED的长.

答案：

(1)
∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB = 90°.
　
∵BE⊥CD,
∴∠BED = 90°.
　
∵$\widehat{BC}$所对的圆周角为∠BDE和∠BAC,
　
∴∠BDE = ∠BAC,
∴△DBE∽△ABC.
(2)如图,过点C作CG⊥AB,垂足为G.
　　　　　　
　
∵∠ACB = 90°,AC=$\sqrt{5}$,BC = 2$\sqrt{5}$,
　
∴$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=5$.
　
∵CG⊥AB,
∴∠CGA = 90°.
∵∠CAG = ∠BAC,
　
∴△ACG∽△ABC,
　
∴$\frac{AG}{AC}=\frac{AC}{AB}$,
∴$AG=\frac{AC^{2}}{AB}=1$.
　
∵AF = 2,
∴FG = AG - 1,
∴AC = FC,
　
∴∠CAF = ∠CFA = ∠BFD = ∠BDF,
　
∴BD = BF = AB - AF = 5 - 2 = 3.
　
∵△DBE∽△ABC,
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DE}{AC}$,
∴$\frac{3}{5}=\frac{DE}{\sqrt{5}}$,
　
∴$ED=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.

24. (8分)(2024·福建福州鼓楼区屏东中学月考)如图，AC是菱形ABCD的对角线.
(1)尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中，连接BD、CE. 求证：△ABD∽△ACE.

答案：

(1)如图
(1). 作法:以点D为圆心、BC长为半径作弧,以点A为圆心、AC长为半径作弧,交前弧于点E,连接DE、AE,△ADE就是所求的图形.
　　　　
　　　　　　　　　　(第24题)
　　　　
(2)如图
(2),由旋转,得AB = AD,AC = AE,∠BAC = ∠DAE,
　
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD,
　
∴∠BAD = ∠CAE,
∴△ABD∽△ACE.