《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册苏科版》

21.(6分)(2024·苏州期末)在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 105°，AB = 12.
(1)求BC的长；
(2)求△ABC的面积.(结果保留根号)

答案：
(1)过点B作BH⊥AC于点H，则∠AHB = 90°.
∵∠A = 30°，AB = 12，
∴BH = $\frac{1}{2}$AB = 6.
∵∠ABC = 105°，
∴∠C = 180° - ∠A - ∠ABC = 45°.
∴△BCH是等腰直角三角形，
∴BC = $\sqrt{2}$BH = 6$\sqrt{2}$.
(2)
∵cos A = cos 30° = $\frac{AH}{AB}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB = 12，
∴AH = 6$\sqrt{3}$.
∵△BCH为等腰直角三角形，
∴CH = BH = 6，
∴AC = AH + CH = 6$\sqrt{3}$ + 6，
∴△ABC的面积 = $\frac{1}{2}$AC·BH = $\frac{1}{2}$×(6$\sqrt{3}$ + 6)×6 = 18$\sqrt{3}$ + 18.

22.(6分)(2023·重庆中考)为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A - D - C - B；②A - E - B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向.(参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73)
(1)求AD的长度.(结果精确到1千米)
(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②?

答案：
(1)如图，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，由题意，得四边形ABCF是矩形，
∴AF = BC = 10千米.
在Rt△ADF中，∠DAF = 45°，
∴AD = $\frac{AF}{sin 45°}$ = $\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = 10$\sqrt{2}$≈10×1.41≈14(千米).
∴AD的长度约为14千米.
(2)小明应该选择线路①，
理由：在Rt△ADF中，∠DAF = 45°，AF = 10千米，
∴∠ADF = 45° = ∠DAF，
∴DF = AF = 10千米，
在Rt△ABE中，∠ABE = 90° - 60° = 30°，AB = DF + CD = 24千米，
∴AE = AB·tan 30° = 24×$\frac{\sqrt{3}}{3}$ = 8$\sqrt{3}$(千米)，
EB = 2AE = 16$\sqrt{3}$千米，
按线路①A - D - C - B走的路程为AD + DC + CB = 10$\sqrt{2}$ + 14 + 10≈38(千米)
按线路②A - E - B走的路程为AE + EB = 8$\sqrt{3}$ + 16$\sqrt{3}$≈24×1.73 = 41.52(千米)
∵38千米＜41.52千米，
∴小明应该选择线路①.