《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册苏科版》

23.(6分)(2023·无锡中考)某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg. 经市场调查发现每天的销售量 $y(kg)$与销售价格 $x(元/kg)$之间的函数关系如图所示.
(1)求 $y$关于 $x$的函数表达式.
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？[销售利润 =(销售价格 - 采购价格)×销售量]

答案：
(1)当22≤x≤30时，设函数表达式为y = kx + b，
将(22,48)、(30,40)代入表达式，
得$\begin{cases}22k + b = 48 \\30k + b = 40\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 1 \\b = 70\end{cases}$，
∴函数表达式为y = -x + 70；
当30＜x≤45时，设函数表达式为y = mx + n，
将(30,40)、(45,10)代入表达式，
得$\begin{cases}30m + n = 40 \\45m + n = 10\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = - 2 \\n = 100\end{cases}$，
∴函数表达式为y = -2x + 100，
综上，y与x的函数表达式为
y = $\begin{cases}-x + 70(22≤x≤30) \\-2x + 100(30＜x≤45)\end{cases}$.
(2)设利润为w元，当22≤x≤30时，
w = (x - 20)(-x + 70)=-x² + 90x - 1400=-(x - 45)² + 625.
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x = 30时，w取得最大值为400；
当30＜x≤45时，w = (x - 20)(-2x + 100)=-2x² + 140x - 2000=-2(x - 35)² + 450，
当x = 35时，w取得最大值为450.
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元.

24.(8分)(2023·淮安中考)已知二次函数 $y = x^{2}+bx - 3(b$为常数$)$.
(1)该函数图像与 $x$轴交于 $A$、$B$两点，若点 $A$的坐标为$(3,0)$.
①$b$的值是_______，点 $B$的坐标是_______；
②当 $0＜y＜5$时，借助图像，求自变量 $x$的取值范围.
(2)对于一切实数 $x$，若函数值 $y＞t$总成立，求 $t$的取值范围(用含 $b$的式子表示).
(3)当 $m＜y＜n$时(其中 $m$、$n$为实数，$m＜n$)，自变量 $x$的取值范围是 $1＜x＜2$，求 $n$与 $b$的值及 $m$的取值范围.

答案：
(1)① - 2 (-1,0) [解析]由二次函数y = x² + bx - 3过点A(3,0)，
∴9 + 3b - 3 = 0.
∴b = - 2.
∴二次函数的表达式为y = x² - 2x - 3.
令y = 0，
∴x² - 2x - 3 = 0，
解得x = -1或x = 3，
∴B(-1,0).
②由题意，令y = x² - 2x - 3 = 5，
∴x = 4或x = -2.
∵a = 1＞0，
∴二次函数图像开口向上.
∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分，
∴-2＜x＜-1或3＜x＜4.
(2)
∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，
即x² + bx - 3＞t恒成立，即x² + bx - 3 - t＞0.
∵y = x² + bx - 3 - t开口向上，
∴Δ = b² - 4(-3 - t)＜0，
∴t＜-$\frac{b² + 12}{4}$.
(3)由题意，抛物线上横坐标为x = 1与x = 2的两点关于对称轴对称，
∴对称轴x = -$\frac{b}{2}$=$\frac{1 + 2}{2}$，
∴b = - 3.
∴二次函数为y = x² - 3x - 3=(x - $\frac{3}{2}$)² - $\frac{21}{4}$.
∴当x = 1或x = 2时，y = -5，即此时n = -5.
∵m＜y＜-5时，自变量x的取值范围是1＜x＜2，
∴m＜-$\frac{21}{4}$.