《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册苏科版》

15. 我们规定：若a=(x₁，y₁)，b=(x₂，y₂)，则a·b = x₁x₂ + y₁y₂. 例如a=(1，3)，b=(2，4)，则a·b = 1×2 + 3×4 = 2 + 12 = 14. 已知a=(x + 1，x - 1)，b=(x - 3，4)，且 - 2≤x≤3，则a·b的最大值是________.

答案： 8 [解析]根据题意，知a·b=(x+1)(x - 3)+4(x - 1)=(x+1)² - 8. 因为 - 2≤x≤3，所以当x=3时，a·b=(3+1)² - 8=8，即a·b的最大值是8.

16. (2024·镇江期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y = ax² + 4ax + c(a＞0)的顶点为E，且经过点A、B. 若△ABE为直角三角形，则a =________.
 　　

答案： $\frac{1}{2}$ [解析]
∵抛物线y=ax²+4ax+c=a(x+2)²+c - 4a(a＞0)的顶点为E，且经过点A、B，
∴抛物线的对称轴是直线x= - 2，且A、B关于直线x= - 2对称，即A(0,c)，B( - 4,c)，E( - 2,c - 4a)，
∴AB=4，AE²=[0 - ( - 2)]²+[c - (c - 4a)]²=4+16a²，BE²=[ - 4 - ( - 2)]²+[c - (c - 4a)]²=4+16a².
∵△ABE为直角三角形，
∴AE²+BE²=AB²，即4+16a²+4+16a²=4²，解得a=$\frac{1}{2}$(负值舍去).

17. (2023·无锡中考)二次函数y = x² + (2m - 1)x + 2m(m≠$\frac{1}{2}$)，有下列结论：①该函数图像过定点(-1，2)；②当m = 1时，函数图像与x轴无交点；③函数图像的对称轴不可能在y轴的右侧；④当1＜m＜$\frac{3}{2}$时，点P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)是曲线上两点，若 - 3＜x₁＜ - 2， - $\frac{1}{2}$＜x₂＜0，则y₁＞y₂. 其中，正确结论的序号为________.

答案： ①②④ [解析]y=x²+(2m - 1)x+2m=x²+2mx - x+2m=2m(x+1)+x² - x，当x= - 1时，y=2，
∴该函数图像过定点( - 1,2)，故①正确；当m=1时，y=x²+x+2.
∵b² - 4ac=1 - 4×2= - 7＜0，
∴函数图像与x轴无交点，故②正确；抛物线的对称轴为直线x= - $\frac{b}{2a}$=$\frac{1 - 2m}{2}$=$\frac{1}{2}$ - m.
∵m≠$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$ - m≠0，
∴当m＞$\frac{1}{2}$时，对称轴在y轴左侧，当m＜$\frac{1}{2}$时，对称轴在y轴右侧，故③错误；
∵1＜m＜$\frac{3}{2}$，
∴ - 1＜$\frac{1}{2}$ - m＜ - $\frac{1}{2}$.
∵ - 3＜x₁＜ - 2， - $\frac{1}{2}$＜x₂＜0，
∴P(x₁,y₁)在对称轴左侧，Q(x₂,y₂)在对称轴右侧.
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∴当x= - 2时，y₁最小=4 - 4m+2+2m= - 2m+6，当x=0时，y₂最大=2m，此时，y₁ - y₂= - 4m+6.
∵1＜m＜$\frac{3}{2}$，
∴ - 4m+6＞0，
∴y₁＞y₂，故④正确. 故答案为①②④.

18. 距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h = - 5t² + mt + n，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒. 设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差)，则当0≤t≤1时，w的取值范围是________；当2≤t≤3时，w的取值范围是________.

答案： 0≤w≤5 5≤w≤20 [解析]
∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
∴抛物线h= - 5t²+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过点(3,0)，
∴$\begin{cases}\frac{4×( - 5)n - m²}{4×( - 5)}=20\\ - 5×3²+3m+n=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m_1=10\\n_1=15\end{cases}$或$\begin{cases}m_2=50\\n_2= - 105\end{cases}$(不合题意，舍去)，
∴抛物线的表达式为h= - 5t²+10t+15.
∵h= - 5t²+10t+15= - 5(t - 1)²+20，
∴抛物线的最高点的坐标为(1,20).
∵20 - 15=5，
∴当0≤t≤1时，w的取值范围是0≤w≤5；当t=2时，h=15，当t=3时，h=0.
∵20 - 15=5，20 - 0=20，
∴当2≤t≤3时，w的取值范围是5≤w≤20.

19. (6分)已知二次函数y = x² + bx - c的图像与x轴两个交点的坐标分别为(m，0)、(-3m，0)(m≠0).
(1)求证：4c = 3b²；
(2)若该函数图像的对称轴为直线x = 1，试求该二次函数的最小值.

答案：
(1)依题意，得m、 - 3m是一元二次方程x²+bx - c=0的两根. 根据一元二次方程根与系数的关系，得m+( - 3m)= - b，m×( - 3m)= - c.
∴b=2m，c=3m²，
∴4c=3b².
(2)依题意，得 - $\frac{b}{2}$=1，
∴b= - 2. 由
(1)，得c=$\frac{3}{4}$b²=$\frac{3}{4}$×( - 2)²=3.
∴y=x² - 2x - 3=(x - 1)² - 4，
∴该二次函数的最小值为 - 4.