《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册苏科版》

23.(6分)某仓储中心有一个坡度为i = 1∶2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，点B、C在同一水平地面上，其横截面如图所示.
(1)求该斜坡的坡面AB的长度；
(2)现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE = 2.5米，高EF = 2米，该货柜沿斜坡向上运送时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF = 3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH.

答案：
(1)
∵坡度为i = 1∶2，AC = 4米，
∴BC = 4×2 = 8(米).
∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+8^{2}}$ = 4$\sqrt{5}$(米).
(2)
∵∠DGM = ∠BHM = 90°，∠DMG = ∠BMH，
∴∠GDM = ∠B，
∴$\frac{GM}{GD}$ = $\frac{1}{2}$.
∵DG = EF = 2米，
∴GM = 1米，
∴DM = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}$ = $\sqrt{5}$(米)，BM = BF + FM = 3.5 + (2.5 - 1) = 5(米). 设MH = x米，则BH = 2x米，
∴x² + (2x)² = 5²，解得x = $\sqrt{5}$.
∴DH = $\sqrt{5}$ + $\sqrt{5}$ = 2$\sqrt{5}$(米).

24.(6分)中考新考法 课题实践活动 在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i = 3∶4(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求大楼MN的高度.(图中的点A、B、M、N、C均在同一平面内，N、A、C在同一水平线上，参考数据：tan 22°≈0.4，tan 58°≈1.6)

答案： 如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D，则BE = DN，DB = NE.
∵斜坡AB的坡度i = 3∶4，
∴$\frac{BE}{AE}$ = $\frac{3}{4}$.
设BE = 3a米，则AE = 4a米.
在Rt△ABE中，AB = $\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}$ = $\sqrt{(3a)^{2}+(4a)^{2}}$ = 5a(米)，
∵AB = 75米，
∴5a = 75，
∴a = 15，
∴DN = BE = 45米，AE = 60米，
设NA = x米，则BD = NE = AN + AE = (x + 60)米.
在Rt△ANM中，∠NAM = 58°，
∴MN = AN·tan 58°≈1.6x(米)，
∴DM = MN - DN = (1.6x - 45)米.
在Rt△MDB中，∠MBD = 22°，
∴tan 22° = $\frac{DM}{DB}$ = $\frac{1.6x - 45}{x + 60}$≈0.4，解得x = 57.5，
经检验，x = 57.5是原方程的解，
∴MN = 1.6x = 92(米)，
∴大楼MN的高度约为92米.