《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册苏科版》

20. (6分)中考新考法 无刻度直尺作图(2023·常州模拟)如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，按要求完成画图.(要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹)



(1)在图(1)中，以BO为边，画出△OBC，使△OBC∽△ABO，C为格点；
(2)在图(2)中，以点O为位似中心. 画出△ODE，使△ODE与△OAB位似，且位似比$k = \frac{OD}{OA}=2$，点D、E为格点；
(3)在图(3)中，在边OA上找一个点F，且$\frac{AF}{OF}=3$满足.

答案：

(1)如图
(1),△OBC即为所求.
　　　
　　　　　　　　　　(第20
(2)如图
(2),△ODE即为所求.
(3)如图
(3),取格点P、Q,连接PQ,交AO于点F,
　　则点F即为所求作的点.
　
∵△AQF∽△OPF,
∴$\frac{AF}{FO}=\frac{AQ}{OP}=3$.
　　　　　　　

21. (6分)如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF = ∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD = 3，AB = 5，求$\frac{AF}{AG}$的值.

答案：
(1)
∵AG⊥BC,AF⊥DE,
∴∠AFE = ∠AGC = 90°.
　
∵∠EAF = ∠GAC,
∴∠AED = ∠ACB.
　
∵∠DAE = ∠BAC,
∴△ADE∽△ABC.
(2)
∵△ADE∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{3}{5}$.
　
∵∠AFE = ∠AGC = 90°,∠EAF = ∠CAG,
　
∴△EAF∽△CAG,
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}=\frac{3}{5}$.

22. (6分)(2024·南京秦淮区二模)如图，在△ABC中，AB = AC，D、E分别是BC、AB上的点，且∠ADE = ∠C.
(1)求证：△ACD∽△DBE；
(2)求证：4BE·AC≤BC².

答案：
(1)
∵AB = AC,
∴∠B = ∠C.
∵∠BDA = ∠DAC + ∠C = ∠BDE + ∠ADE,∠ADE = ∠C,
　
∴∠BDE = ∠DAC,
∴△ACD∽△DBE.
(2)
∵△ACD∽△DBE,
　
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BD}{AC}$,即BE·AC = BD·CD,
　　设BC = m,BD = x,则CD = m - x,
　
∴4BE·AC = 4BD·CD = 4x(m - x)=-(2x - m)^{2}+m^{2},
　
∴4BE·AC≤m^{2},即4BE·AC≤BC^{2}.