《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册人教版》

1. 定义：一次函数$y = ax + b$和一次函数$y = -bx - a$为“逆反函数”，如$y = 3x + 2$和$y = -2x - 3$为“逆反函数”. 若点$A(a,3)$在$y = x + 2$的“逆反函数”的图象上，则$a =$______.

答案： -2

2. 定义：对于给定的一次函数$y = ax + b(a\neq0)$，把形如$y=\begin{cases}ax + b(x\geq0)\\-ax + b(x＜0)\end{cases}$的函数称为一次函数$y = ax + b$的衍生函数. 已知函数$y = 2x + 1$，若点$P(1,m)$，$Q(-1,n)$在这个一次函数的衍生函数图象上，则$m =$______，$n =$______.

答案： 3；3

3. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫常态三角形. 例如：一个三角形的三边长分别是5,6和8，因为$6^{2}+8^{2}=4\times5^{2}=100$，所以这个三角形是常态三角形.
(1) 若$\triangle ABC$的三边长分别是$2,\sqrt{5}$和4，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）.
(2) 若$Rt\triangle ABC$是常态三角形，则此三角形的三边长之比为____________（从小到大排列）.
(3) 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC = 6$，$CD = AD = DB$，若$\triangle BCD$是常态三角形，求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1) 是。
(2) $\sqrt{2}:\sqrt{3}:\sqrt{5}$。
(3) 设 $CD = x(x＞0)$，则 $AD = BD = CD = x$，$AB = 2x$。因为 $\triangle BCD$ 是常态三角形，所以有以下两种可能。 ①当 $x^{2}+x^{2}=4BC^{2}=4\times6^{2}=144$ 时，$x^{2}=72$，所以 $x = 6\sqrt{2}$，所以 $AB = 12\sqrt{2}$，由勾股定理得 $AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{288 - 36}=6\sqrt{7}$，则 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\times6\sqrt{7}\times6 = 18\sqrt{7}$。 ②当 $x^{2}+6^{2}=4x^{2}$ 时，$x^{2}=12$，所以 $x = 2\sqrt{3}$，所以 $AB = 4\sqrt{3}$，由勾股定理得 $AC=\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}-6^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，则 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}\times6 = 6\sqrt{3}$。 综上，$\triangle ABC$ 的面积为 $6\sqrt{3}$ 或 $18\sqrt{7}$。

4. 定义：若一个四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，则我们把这样的四边形叫做双距四边形.
(1) 下列说法正确的有______（填序号）.
①正方形一定是双距四边形；
②矩形一定是双距四边形；
③有一个内角为$60^{\circ}$的菱形是双距四边形.
(2) 如图1，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB = AD$，$\angle ABC = \angle DCB = 72^{\circ}$，求证：四边形$ABCD$为双距四边形.
(3) 如图2，四边形$ABCD$为双距四边形，$AB = AD=\sqrt{6}$，$BC = DC$，$AB＜BC$，求$BC$的长.

答案：

(1) 因为正方形的四条边都相等，两条对角线相等，所以正方形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，所以正方形是双距四边形，故①正确；因为矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，所以矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，所以矩形不一定是双距四边形，故②错误；因为菱形的四条边都相等，且有一个内角为 $60^{\circ}$，所以该菱形中较短的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，所以该菱形中较短的对角线长与该菱形的边长相等，所以有一个内角为 $60^{\circ}$ 的菱形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，所以有一个内角为 $60^{\circ}$ 的菱形是双距四边形，故③正确。故答案为①③。
(2) 证明：作 $DG// AB$ 交 $BC$ 于点 $G$，如图 1。因为 $\angle ABC=\angle DCB = 72^{\circ}$，$DG// AB$，所以 $\angle DGC=\angle ABC = 72^{\circ}=\angle DCB$，所以 $DC = DG$。因为 $AD// BC$，所以四边形 $ABGD$ 是平行四边形，所以 $AB = DG$，所以 $AB = DC$。因为 $AB = AD$，所以 $AB = AD = DC$，$\angle ADB=\angle ABD$。因为 $AD// BC$，所以 $\angle ADB=\angle CBD$，$\angle CDA = 180^{\circ}-\angle DCB = 108^{\circ}$，所以 $\angle ADB=\angle ABD=\angle CBD=\frac{1}{2}\angle ABC = 36^{\circ}$，所以 $\angle CDB=\angle CDA-\angle ADB = 72^{\circ}=\angle DCB$，所以 $BC = BD$。在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DCB$ 中，$\begin{cases}AB = DC\\\angle ABC=\angle DCB\\BC = CB\end{cases}$，所以 $\triangle ABC\cong\triangle DCB(SAS)$，所以 $AC = BD$，所以 $AC = BC = BD$，所以四边形 $ABCD$ 是双距四边形。
(3) 如图 2，设 $AC$ 交 $BD$ 于点 $E$。因为四边形 $ABCD$ 为双距四边形，$AB = AD$，$BC = DC$，$AB＜BC$，所以 $AC = BD = BC = DC$，设 $AC = BD = BC = 2x$，易知点 $A$、点 $C$ 都在 $BD$ 的垂直平分线上，所以 $AC$ 垂直平分 $BD$，所以 $\angle AEB=\angle CEB = 90^{\circ}$，$BE = DE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}BC = x$，所以 $CE=\sqrt{BC^{2}-BE^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$，所以 $AE = AC - CE = 2x-\sqrt{3}x$。因为 $BE^{2}+AE^{2}=AB^{2}$，$AB=\sqrt{6}$，所以 $x^{2}+(2x-\sqrt{3}x)^{2}=(\sqrt{6})^{2}$，整理得 $x^{2}=(\frac{3 + \sqrt{3}}{2})^{2}$，解得 $x=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$ 或 $x=-\frac{3+\sqrt{3}}{2}$（不符合题意，舍去），所以 $BC = 2\times\frac{3+\sqrt{3}}{2}=3+\sqrt{3}$。