《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册人教版》

18.一题多解 (2023江西南昌二十八中期末,10,★★☆)如图所示，已知正比例函数$y = x$和$y = 3x$，过点$A(2,0)$作x轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交于B,C两点，则$\triangle OBC$的面积为__________（其中O为坐标原点）.(M8219002)

答案： 答案 4 解析 【解法一】当$x = 2$时，$y = x = 2$，
∴点$B$的坐标为$(2,2)$，当$x = 2$时，$y = 3x = 6$，
∴点$C$的坐标为$(2,6)$，
∴$BC = 6 - 2 = 4$.
∵点$A$的坐标为$(2,0)$，
∴$OA = 2$，
∴$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}OA\cdot BC=\frac{1}{2}×2×4 = 4$. 【解法二】同解法一，求出$B(2,2)$，$C(2,6)$，则$S_{\triangle OCB}=S_{\triangle OAC}-S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}×2×6-\frac{1}{2}×2×2 = 4$.

19.(2023山东潍坊期末,20,★★☆)如图，已知四边形ABCD是正方形，点B,C分别在直线$y = 2x$和$y = kx$上，点A,D是x轴上两点.
(1)若此正方形的边长为2，则$k =$_______.
(2)若此正方形的边长为a，则k的值会不会发生变化? 若不会发生变化，说明理由；若会发生变化，试求出k的值.

答案： 解析
(1)
∵正方形的边长为$2$，
∴$AB = AD = 2$，在直线$y = 2x$中，当$y = 2$时，$x = 1$，
∴$OA = 1$，
∴$OD = 1 + 2 = 3$，
∴$C(3,2)$，将$C(3,2)$代入$y = kx$，得$2 = 3k$，
∴$k=\frac{2}{3}$.
(2)$k$的值不会发生变化. 理由：
∵正方形的边长为$a$，
∴$AB = AD = a$，在直线$y = 2x$中，当$y = a$时，$x = \frac{a}{2}$，
∴$OA = \frac{a}{2}$，
∴$OD = \frac{3}{2}a$，
∴$C(\frac{3}{2}a,a)$，将$C(\frac{3}{2}a,a)$代入$y = kx$，得$a = k×\frac{3}{2}a$，
∴$k=\frac{2}{3}$. 故$k$的值不会发生变化.

20.推理能力 如图，已知直线$a:y = x$，直线$b:y=-\frac{1}{2}x$和点$P(1,0)$，过点P作y轴的平行线交直线a于点$P_{1}$，过点$P_{1}$作x轴的平行线交直线b于点$P_{2}$，过点$P_{2}$作y轴的平行线交直线a于点$P_{3}$，过点$P_{3}$作x轴的平行线交直线b于点$P_{4}$，……，按此作法进行下去，点$P_{2024}$的横坐标为_______.

答案： 答案 $2^{1012}$ 解析
∵$PP_{1}// y$轴，
∴$P_{1}$与$P$的横坐标相同，
∵$P_{1}$在直线$y = x$上，$P(1,0)$，
∴$P_{1}(1,1)$，
∵$P_{1}P_{2}// x$轴，
∴$P_{2}$的纵坐标$=P_{1}$的纵坐标$ = 1$，
∵$P_{2}$在直线$y = - \frac{1}{2}x$上，
∴$1 = - \frac{1}{2}x$，解得$x = - 2$，
∴$P_{2}(-2,1)$，即$P_{2}$的横坐标为$-2=-2^{1}$， 同理，$P_{3}$的横坐标为$-2^{1}$，$P_{4}$的横坐标为$2^{2}$，$P_{5}$的横坐标为$2^{2}$，$P_{6}$的横坐标为$-2^{3}$，$P_{7}$的横坐标为$-2^{3}$，$P_{8}$的横坐标为$2^{4}$，……
∴$P_{4n}$的横坐标为$2^{2n}$，
∴$P_{2024}$的横坐标为$2^{1012}$.

21.几何直观 已知正比例函数$y = kx$的图象经过点A，点A在第四象限内，过点A作$AH\perp x$轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且$\triangle AOH$的面积为3.
(1)求正比例函数的表达式.
(2)在x轴上是否存在一点M，使$\triangle AOM$是等腰三角形？若存在，请求点M的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
解析
(1)
∵点$A$的横坐标为$3$，$\triangle AOH$的面积为$3$，点$A$在第四象限内，
∴点$A$的坐标为$(3,-2)$. 将$A(3,-2)$代入$y = kx$，得$-2 = 3k$，解得$k = - \frac{2}{3}$，
∴正比例函数的表达式为$y = - \frac{2}{3}x$.
(2)存在. ①当$OM = OA$时，如图1，
∵点$A$的坐标为$(3,-2)$，
∴$OH = 3$，$AH = 2$，
∴$OA=\sqrt{OH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{13}$，
∴点$M$的坐标为$(-\sqrt{13},0)$或$(\sqrt{13},0)$； ②当$AO = AM$时，如图2，
∵点$H$的坐标为$(3,0)$，
∴点$M$的坐标为$(6,0)$； ③当$OM = MA$时，如图3， 设$OM = MA = x$，则$MH = 3 - x$， 在$Rt\triangle AMH$中，$x^{2}=(3 - x)^{2}+2^{2}$，解得$x=\frac{13}{6}$，
∴点$M$的坐标为$(\frac{13}{6},0)$. 综上所述，当点$M$的坐标为$(-\sqrt{13},0)$或$(\sqrt{13},0)$或$(6,0)$或$(\frac{13}{6},0)$时，$\triangle AOM$是等腰三角形.