《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册人教版》

15. (2022吉林中考，13，★★☆) 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF = $\frac{1}{4}$AC，连接EF. 若AC = 10，则EF = ________.

答案： $\frac{5}{2}$

16. 新考向·尺规作图 (2022山西中考，17，★★☆) 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线.
(1) 实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母).
(2) 猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明.

答案：
（1）如图。
（2）AE = CF。**证明**如下：因为四边形ABCD是矩形，所以AD//BC，所以∠EAO = ∠FCO，∠AEO = ∠CFO，因为EF是AC的垂直平分线，所以AO = CO，在△AOE和△COF中，$\begin{cases}∠AEO = ∠CFO\\∠EAO = ∠FCO\\AO = CO\end{cases}$，所以△AOE≌△COF(AAS)，所以AE = CF。

17. (2024山东青岛育才中学期末，19，★★☆) 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF = ∠BDC，∠DCF = ∠ACD.
(1) 求证：DF = CF.
(2) 若∠CDF = 60°，DF = 6，求矩形ABCD的面积.

答案： （1）**证明**：因为四边形ABCD是矩形，所以$OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，AC = BD，所以OC = OD，所以∠ACD = ∠BDC，因为∠CDF = ∠BDC，∠DCF = ∠ACD，所以∠CDF = ∠DCF，所以DF = CF。 （2）由（1）可知，DF = CF，因为∠CDF = 60°，所以△CDF是等边三角形，所以CD = DF = 6，因为∠BDC = ∠CDF = 60°，OC = OD，所以△OCD是等边三角形，所以OC = OD = CD = 6，所以BD = 2OD = 12，因为四边形ABCD是矩形，所以∠BCD = 90°，所以$BC=\sqrt{BD^{2}-CD^{2}}=\sqrt{12^{2}-6^{2}} = 6\sqrt{3}$，所以$S_{矩形ABCD}=BC·CD = 6\sqrt{3}×6 = 36\sqrt{3}$。

18. 推理能力 新考向·操作探究试题【问题提出】
(1) 如图①，在矩形ABCD中，E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点F恰好在AD上，则∠BAE的度数为________.
【问题拓展】如图②，将图①中的纸片纸片沿点D的折叠折叠，使得点C恰好落在EF上的点H处，DG为折痕.
(2) 若AB = 5，AD = 8，求FH的长.
(3) 若AE//HG，求边AB与BC之间的关系.

答案： （1）45°。**详解**：由折叠的性质可知∠BAE = ∠FAE，因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD = 90°，所以∠BAE = ∠FAE = 45°。 （2）因为在矩形ABCD中，AB = 5，所以CD = AB = 5，由折叠的性质可知DH = CD = 5，由（1）知∠AFE = ∠DFE = 90°，∠BAE = ∠FAE = 45°，所以AF = EF = AB = 5，所以DF = AD - AF = 8 - 5 = 3，所以$FH=\sqrt{DH^{2}-DF^{2}} = 4$。 （3）设HE = a，AB = BE = x，因为AE//HG，所以∠BEA = ∠EGH = 45°，所以∠EHG = ∠AEF = 45° = ∠EGH，所以EG = HE = a，所以$HG=\sqrt{HE^{2}+EG^{2}}=\sqrt{2}a$，由折叠的性质可知，GC = HG = $\sqrt{2}a$，HD = CD = AB = x，∠DHG = ∠C = 90°，所以∠FDH = ∠FHD = 45°，所以HF = FD = x - a，所以x - a = a + $\sqrt{2}a$，化简得$x=(2+\sqrt{2})a$，即$AB=(2+\sqrt{2})a$，因为BC = BE + EG + GC，所以$BC=x + a+\sqrt{2}a=(2+\sqrt{2})a + a+\sqrt{2}a=(3+2\sqrt{2})a$，所以$\frac{AB}{BC}=\frac{(2+\sqrt{2})a}{(3+2\sqrt{2})a}=2-\sqrt{2}$，即$AB=(2-\sqrt{2})BC$。