《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册人教版》

21. （2024河北唐山路南月考，21，★☆☆）已知 $y - 3$ 与 $2x - 1$ 成正比例，且 $x = 1$ 时，$y = 4$.
（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式.
（2）试判断点 $(2,5)$ 是否在 $y$ 关于 $x$ 的函数图象上.
（3）如果 $y$ 的取值范围为 $0 \leq y \leq 5$，求 $x$ 的取值范围.
（4）若点 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$ 都在该函数的图象上，且 $y_{1} ＞ y_{2}$，试判断 $x_{1}$，$x_{2}$ 的大小关系.

答案： 解析 （1）设$y - 3 = k(2x - 1)$（$k \neq 0$），$\because$当$x = 1$时，$y = 4$，$\therefore 4 - 3 = k(2 - 1)$，解得$k = 1$，$\therefore y$与$x$的函数关系式为$y - 3 = 2x - 1$，即$y = 2x + 2$. （2）把$x = 2$代入$y = 2x + 2$，得$y = 2\times2 + 2 = 6 \neq 5$，$\therefore$点$(2,5)$不在$y$关于$x$的函数图象上. （3）$\because 0 \leq y \leq 5$，$\therefore 0 \leq 2x + 2 \leq 5$，解得$- 1 \leq x \leq \frac{3}{2}$. （4）$\because y_{1} = 2x_{1} + 2$，$y_{2} = 2x_{2} + 2$，$y_{1} \gt y_{2}$，$\therefore 2x_{1} + 2 \gt 2x_{2} + 2$，$\therefore x_{1} \gt x_{2}$.

22. 运算能力 已知函数 $y = \begin{cases}x - \frac{m}{2} + 1,x ＜ m, \\ -x + \frac{3}{2}m + 1,x \geq m.\end{cases}$ 其中 $m$ 为常数，该函数的图象记为 $G$.
（1）当 $m = - 2$ 时，若点 $D(3,n)$ 在图象 $G$ 上，求 $n$ 的值.
（2）当 $3 - m \leq x \leq 4 - m$ 时，若函数最大值与最小值的差为 $\frac{1}{2}$，求 $m$ 的值.

答案： 解析 （1）当$m = - 2$时，函数$y = \begin{cases}x + 2,x \lt - 2\\- x - 2,x \geq - 2\end{cases}$，$\because$点$D(3,n)$在图象$G$上，$3 \gt - 2$，$\therefore$把$(3,n)$代入$y = - x - 2$，得$n = - 3 - 2 = - 5$. （2）①当$4 - m \lt m$，即$m \gt 2$时，对于函数$y = x - \frac{m}{2} + 1$，$y$随着$x$的增大而增大，$\therefore$当$x = 3 - m$时，函数有最小值$y_{1} = - \frac{3m}{2} + 4$，当$x = 4 - m$时，函数有最大值$y_{2} = - \frac{3m}{2} + 5$，此时$y_{2} - y_{1} = 1 \neq \frac{1}{2}$，不符合题意. ②当$m \lt 3 - m$，即$m \lt \frac{3}{2}$时，对于函数$y = - x + \frac{3}{2}m + 1$，$y$随着$x$的增大而减小，$\therefore$当$x = 4 - m$时，函数有最小值$y_{1} = \frac{5m}{2} - 3$，当$x = 3 - m$时，函数有最大值$y_{2} = \frac{5m}{2} - 2$，此时$y_{2} - y_{1} = 1 \neq \frac{1}{2}$，不符合题意. ③当$3 - m \leq m \leq 4 - m$，即$\frac{3}{2} \leq m \leq 2$时，图象$G$从左到右先上升，再下降，即$y$随着$x$的增大先增大，再减小，$\therefore$当$x = m$时，函数有最大值$\frac{m}{2} + 1$，当$x = 3 - m$时，$y = - \frac{3m}{2} + 4$，当$x = 4 - m$时，$y = \frac{5m}{2} - 3$，$\therefore$当$\frac{m}{2} + 1 - ( - \frac{3m}{2} + 4) = \frac{1}{2}$时，$m = \frac{7}{4}$，符合题意，当$\frac{m}{2} + 1 - (\frac{5m}{2} - 3) = \frac{1}{2}$时，$m = \frac{7}{4}$，符合题意. 综上，当$m = \frac{7}{4}$时，函数最大值与最小值的差为$\frac{1}{2}$.

23. 几何直观 如图，已知一次函数 $y = - \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$ 的图象与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于点 $A$，$B$，点 $C$，$D$ 均在该函数图象上.
（1）判断点 $(\frac{5}{4},0)$ 是否在直线 $AB$ 上，并说明理由.
（2）当 $-1 \leq y \leq 3$ 时，求 $x$ 的取值范围.
（3）在 $x$ 轴上是否存在点 $P$，使得 $\triangle CDP$ 的面积为 2？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 解析 （1）点$(\frac{5}{4},0)$在直线$AB$上. 理由如下： 在$y = - \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$中，令$x = \frac{5}{4}$，则$y = - \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} + \frac{5}{3} = 0$，$\therefore$点$(\frac{5}{4},0)$在直线$AB$上. （2）在$y = - \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$中，令$y = - 1$，则$- 1 = - \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$，解得$x = 2$，令$y = 3$，则$3 = - \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$，解得$x = - 1$，$\therefore$当$- 1 \leq y \leq 3$时，$x$的取值范围是$- 1 \leq x \leq 2$. （3）存在点$P$，使得$\triangle CDP$的面积为2. 在$y = - \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$中，令$x = - 1$，得$y = 3$，$\therefore D(- 1,3)$，在$y = - \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$中，令$y = - 1$，得$x = 2$，$\therefore C(2,- 1)$，在$y = - \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$中，令$y = 0$，得$x = \frac{5}{4}$，$\therefore A(\frac{5}{4},0)$，$\because \triangle CDP$的面积为2，$\therefore \frac{1}{2}AP \cdot |y_{D} - y_{C}| = 2$，即$\frac{1}{2}AP\times4 = 2$，$\therefore AP = 1$，当$P$在$A$左侧时，点$P$的坐标为$(\frac{1}{4},0)$；当$P$在$A$右侧时，点$P$的坐标为$(\frac{9}{4},0)$. 综上所述，点$P$的坐标为$(\frac{1}{4},0)$或$(\frac{9}{4},0)$.