《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册人教版》

15.应用意识 探究:如图1,在平行四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过点O的直线交AD于点E,交BC于点F.
(1)求证:四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等.
(2)直线EF是否将平行四边形ABCD的面积分成二等份? 试说明理由.
应用:
(3)张大爷家有一块平行四边形菜园,园中有一口水井P,如图2,张大爷计划把菜园平均分成两块,分别种植西红柿和茄子,且使两块地共用这口水井,请你帮助张大爷把地分开.

答案：
解析
(1)证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，OA = OC，AD//BC，
∴ ∠OAE = ∠OCF， 在△OAE和△OCF中，$\begin{cases}\angle OAE=\angle OCF \\ OA = OC \\ \angle AOE=\angle COF\end{cases}$，
∴ △OAE≌△OCF(ASA)，
∴ AE = CF， 同理可证△ODE≌△OBF，
∴ DE = BF，
∴ AB + AE + EF + BF = CD + CF + EF + DE，
∴ 四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等.
(2)直线EF是将平行四边形ABCD的面积分成二等份. 理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，OA = OC，OB = OD， 在△AOB和△COD中，$\begin{cases}AB = CD \\ OA = OC \\ OB = OD\end{cases}$，
∴ △AOB≌△COD(SSS)，
∴ $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}$， 由
(1)得△OAE≌△OCF，△ODE≌△OBF，
∴ $S_{\triangle OAE}=S_{\triangle OCF}$，$S_{\triangle ODE}=S_{\triangle OBF}$，
∴ $S_{\triangle AOB}+S_{\triangle OAE}+S_{\triangle OBF}=S_{\triangle COD}+S_{\triangle OCF}+S_{\triangle ODE}$，
∴ 直线EF将平行四边形ABCD的面积分成二等份.
(3)连接AC，BD交于点O，作直线OP，则直线OP两侧的四边形面积相等，如图所示. 

16.推理能力 如图1,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,直线EF过点O与AD、BC相交于点E、F.
(1)求证:OE=OF.
(2)若直线EF分别与DC、BA的延长线相交于F、E,如图2,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(3)若平行四边形ABCD的面积为20,BC=10,CD=6,直线EF在绕点O旋转的过程中,线段EF何时最短? 并求出EF的最小值.

答案： 解析
(1)证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，AD//BC，
∴ ∠OAE = ∠OCF， 在△AOE和△COF中，$\begin{cases}\angle OAE=\angle OCF \\ OA = OC \\ \angle AOE=\angle COF\end{cases}$，
∴ △AOE≌△COF，
∴ OE = OF.
(2)成立. 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，AB//CD，
∴ ∠E = ∠F， 在△OAE和△OCF中，$\begin{cases}\angle E=\angle F \\ \angle AOE=\angle COF \\ OA = OC\end{cases}$，
∴ △AOE≌△COF(AAS)，
∴ OE = OF.
(3)①直线EF在绕点O旋转的过程中，若直线EF与AD，BC相交，则当EF⊥BC时，EF最短，
∵ 平行四边形ABCD的面积为20，BC = 10，
∴ $S_{平行四边形ABCD}=BC\cdot EF = 10×EF = 20$，
∴ EF = 2，
∴ 直线EF在绕点O旋转的过程中，EF⊥BC时，EF最短，EF的最小值为2. ②直线EF在绕点O旋转的过程中，若直线EF与DC、BA的延长相交相交，则当EF⊥AB时，EF最短， 同①的方法，得出EF的最小值为$\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$. 故直线EF绕绕点O旋转的过程中，EF⊥BC时，EF最短，EF的最小值为2.