《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册人教版》

7. (2024山东青岛一中期末，20，★★☆)3月15日是国际消费者权益日，各地开展“3·15”消费维权活动，重拳出击，推进市场高质量发展，营造良好消费环境. 如图所示的是某品牌婴儿车的简化结构示意图，根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB = CD = 6 dm，BC = 3 dm，AD = 9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接，即∠ABD = 90°，请通过计算说明该车是否符合安全标准.

答案： **解析**：该车符合安全标准. 理由：在 $Rt\triangle ABD$ 中，由勾股定理得 $BD^{2}=AD^{2}-AB^{2}=9^{2}-6^{2}=45$，因为 $BC = 3\ dm$，$CD = 6\ dm$，所以 $BC^{2}+CD^{2}=3^{2}+6^{2}=45$，所以 $BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}$，所以 $\triangle BCD$ 是直角三角形，且 $\angle BCD = 90^{\circ}$，所以 $BC\perp CD$，所以该车符合安全标准.

8. [几何直观]【问题背景】如图①，P是等边△ABC内一点，连接PA、PB、PC. 若PA = 5，PB = 3，PC = 4，求∠BPC的度数. 下面是小英同学的部分解题过程：
解：把△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP'A，连接PP'.
由旋转可得△P'BA≌△PBC，
∴ ∠BP'A = ∠BPC，∠P'BA = ∠PBC，P'B = PB = 3，AP' = PC = 4.
……
(1)请你帮助小英续写解题过程.
【解决问题】
(2)如图②，点D是等腰Rt△ABC内一点，AC = BC，连接DA、DB、DC，AD = 5，BD = 3，CD = 2\sqrt{2}，求∠BDC的度数.

答案：
**解析**： （1）由旋转得 $\angle PBP' = 60^{\circ}$，所以 $\triangle PBP'$ 是等边三角形，所以 $PP' = PB = 3$，$\angle PP'B = 60^{\circ}$，因为 $PA = 5$，$AP' = 4$，$PP' = 3$，所以 $PA^{2}=AP'^{2}+PP'^{2}$，所以 $\triangle APP'$ 是直角三角形，且 $\angle AP'P = 90^{\circ}$，所以 $\angle BPC=\angle BP'A = 90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}$. （2）如图，
将 $\triangle BCD$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $\triangle ACE$，连接 $DE$，由旋转可得 $AE = BD = 3$，$CE = CD = 2\sqrt{2}$，$\angle BDC=\angle AEC$，$\angle DCE = 90^{\circ}$，所以 $\angle CDE=\angle CED=\frac{1}{2}×(180^{\circ}-\angle DCE)=45^{\circ}$，在 $Rt\triangle DCE$ 中，$CD = CE = 2\sqrt{2}$，所以 $DE=\sqrt{CD^{2}+CE^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}} = 4$，因为 $DE = 4$，$AE = 3$，$AD = 5$，所以 $AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}$，所以 $\triangle ADE$ 为直角三角形，且 $\angle AED = 90^{\circ}$，所以 $\angle BDC=\angle AEC=\angle CED+\angle AED = 135^{\circ}$.

9. [运算能力]阅读下列材料，然后回答问题.
已知平面内两点M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，则这两点间的距离可用下列公式计算：MN = $\sqrt{(x₁ - x₂)²+(y₁ - y₂)²}$. 例如：已知P(5,1)、Q(3,-2)，则这两点间的距离为PQ = $\sqrt{(5 - 3)²+(1 + 2)²} = \sqrt{13}$. 特别地，如果M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)两点所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN= |x₁ - x₂|或MN= |y₁ - y₂|.
(1)已知A(1,4)、B(-2,3)，求A、B两点间的距离.
(2)已知A、B两点在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为-1，求A、B两点间的距离.
(3)已知△ABC的坐标坐标分别为A(0,4)、B(-1,2)、C(4,2)，你能判断△ABC的形状吗？请说明理由.

答案： **解析**： （1）因为 $A(1,4)$、$B(-2,3)$，所以 $AB=\sqrt{(1 + 2)^{2}+(4 - 3)^{2}}=\sqrt{10}$. （2）因为 $A$、$B$ 两点在平行于 $y$ 轴的同一条直线上，点 $A$ 的纵坐标为 $6$，点 $B$ 的纵坐标为 $-1$，所以 $AB=\vert6-(-1)\vert = 7$. （3）$\triangle ABC$ 是直角三角形. 理由：因为 $AB=\sqrt{(0 + 1)^{2}+(4 - 2)^{2}}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{(-1 - 4)^{2}+(2 - 2)^{2}} = 5$，$AC=\sqrt{(0 - 4)^{2}+(4 - 2)^{2}}=2\sqrt{5}$，所以 $AB^{2}+AC^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}=25$，$BC^{2}=5^{2}=25$，所以 $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，所以 $\triangle ABC$ 是直角三角形.