《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册人教版》

1. 如图，四边形ABCD中，$\angle A = 90^{\circ},AB = 3\sqrt{3},AD = 3$，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF的最大值为（ ）

A.3
B.4
C.4.5
D.5

答案： A 连接 $DN$，$BD$（图略），$\because$ 点 $E$，$F$ 分别为 $DM$，$MN$ 的中点，$\therefore EF = \frac{1}{2}DN$，$\therefore$ 当点 $N$ 与点 $B$ 重合时，$DN$ 最长，即 $EF$ 最长，在 $Rt\triangle ABD$ 中，$\because\angle A = 90^{\circ}$，$AD = 3$，$AB = 3\sqrt{3}$，$\therefore BD=\sqrt{AD^{2}+AB^{2}}=\sqrt{3^{2}+(3\sqrt{3})^{2}} = 6$，$\therefore EF$ 的最大值 $=\frac{1}{2}BD = 3$。故选 A。

2. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，分别与MN相交于点F，E，$AC = BD$，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点. 求证：$PQ\perp MN$.

答案：
证明：如图，连接 $PM$，$PN$。
  $\because M$，$P$ 分别是边 $AB$，$BC$ 的中点，$\therefore PM=\frac{1}{2}AC$。$\because N$，$P$ 分别是边 $CD$，$BC$ 的中点，$\therefore PN=\frac{1}{2}BD$，又 $\because AC = BD$，$\therefore PM = PN$。$\because Q$ 是 $MN$ 的中点，$\therefore PQ\perp MN$。

3. 如图，$\triangle ABC$中，$AB = 8$，AD为$\triangle ABC$外角的平分线，且$AD\perp CD$于点D，E为BC的中点，若$DE = 10$，则AC的长为（ ）

A.12
B.14
C.16
D.18

答案：
A 如图，延长 $BA$、$CD$ 交于点 $F$，
  $\because AD$ 平分 $\angle FAC$，$\therefore\angle DAF=\angle DAC$，$\because AD\perp CD$，$\therefore\angle ADF=\angle ADC = 90^{\circ}$， 在 $\triangle ADF$ 和 $\triangle ADC$ 中， $\begin{cases} \angle DAF=\angle DAC \\ AD = AD \\ \angle ADF=\angle ADC \end{cases}$ $\therefore\triangle ADF\cong\triangle ADC(ASA)$，$\therefore CD = DF$，$AC = AF$， 又 $\because E$ 为 $BC$ 的中点，$\therefore DE$ 是 $\triangle BCF$ 的中位线， $\therefore BF = 2DE = 20$， $\therefore AF = BF - AB = 20 - 8 = 12$，$\therefore AC = AF = 12$，故选 A。

4. 已知：如图，$\triangle ABC$中，D是BC边的中点，AE平分$\angle BAC$，$BE\perp AE$于E点，若$AB = 5,AC = 7$，则$ED =$_______.

答案：
答案：1 解析：延长 $BE$ 交 $AC$ 于 $F$，
如图，$\because AE$ 平分 $\angle BAC$，$BE\perp AE$， $\therefore\angle BAE=\angle CAE$，$\angle AEB=\angle AEF = 90^{\circ}$， 在 $\triangle ABE$ 与 $\triangle AFE$ 中，$\begin{cases} \angle BAE=\angle FAE \\ AE = AE \\ \angle AEB=\angle AEF \end{cases}$ $\therefore\triangle ABE\cong\triangle AFE(ASA)$，$\therefore BE = EF$，$AB = AF$， $\because AB = 5$，$\therefore AF = 5$， $\because AC = 7$，$\therefore CF = AC - AF = 7 - 5 = 2$， $\because D$ 为 $BC$ 的中点，$BE = EF$， $\therefore DE$ 是 $\triangle BCF$ 的中位线，$\therefore DE=\frac{1}{2}CF = 1$。

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ},BA = BC$，$\triangle BEF$为等腰直角三角形，$\angle BEF = 90^{\circ}$，M为AF的中点，连接ME，求证：$ME=\frac{1}{2}CF$.

答案：
证明：如图，延长 $FE$ 至 $N$，使 $EN = EF$，连接 $BN$，$AN$，
  $\because M$ 是 $AF$ 的中点， $\therefore ME$ 是 $\triangle AFN$ 的中位线， $\therefore ME=\frac{1}{2}AN$。 $\because EF = EN$，$\angle BEF = 90^{\circ}$， $\therefore BE$ 垂直平分 $FN$， $\therefore BF = BN$，$\therefore\angle BNF=\angle BFN$。 $\because\triangle BEF$ 为等腰直角三角形，$\angle BEF = 90^{\circ}$， $\therefore\angle BFN = 45^{\circ}$，$\therefore\angle BNF = 45^{\circ}$， $\therefore\angle FBN = 90^{\circ}$，即 $\angle FBA+\angle ABN = 90^{\circ}$。 又 $\because\angle FBA+\angle CBF = 90^{\circ}$，$\therefore\angle CBF=\angle ABN$。 在 $\triangle BCF$ 和 $\triangle BAN$ 中，$\begin{cases} BF = BN \\ \angle CBF=\angle ABN \\ CB = AB \end{cases}$ $\therefore\triangle BCF\cong\triangle BAN$。$\therefore CF = AN$。$\therefore ME=\frac{1}{2}AN=\frac{1}{2}CF$。

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ},CA = CB$，E，F分别为CA，CB上一点，$CE = CF$，M，N分别为AF，BE的中点，连接MN，求证：$AE=\sqrt{2}MN$.

答案：
证明：如图，取 $AB$ 的中点 $G$，连接 $MG$，$NG$，$\because M$，$N$ 分别为 $AF$，$BE$ 的中点，$\therefore NG=\frac{1}{2}AE$，$NG// AE$，$MG=\frac{1}{2}BF$，$MG// BF$， $\therefore\angle BGN=\angle BAC$，$\angle AGM=\angle ABC$， $\because CA = CB$，$CE = CF$，$AC\perp BC$，$\therefore AE = BF$，$NG\perp MG$， $\therefore MG = NG$，$\angle MGN = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle MNG$ 是等腰直角三角形，$\therefore MN=\sqrt{NG^{2}+GM^{2}}=\sqrt{2}NG$，即 $NG=\frac{\sqrt{2}}{2}MN$， $\therefore AE = 2NG = 2\times\frac{\sqrt{2}}{2}MN=\sqrt{2}MN$，即 $AE=\sqrt{2}MN$。