《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册人教版》

15.已知$x = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$y = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则代数式$x^{2}+3xy + y^{2}$的值为________.

答案： 答案 6 解析 $\because x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore x + y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}$，$xy=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\times\frac{\sqrt{5}-1}{2}=1$，$\therefore x^{2}+3xy + y^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}+xy=(x + y)^{2}+xy=(\sqrt{5})^{2}+1=6$。

16.如图，一只蚂蚁从点$A$沿数轴向右爬行2个单位长度到达点$B$的位置，点$A$表示的数为$-\sqrt{2}$，设点$B$所表示的数为$m$，则$(m - 1)(m - 3)$的值是________.

答案： 答案 1 解析 由题意得 $m=2-\sqrt{2}$，$\therefore(m - 1)(m - 3)=(2-\sqrt{2}-1)(2-\sqrt{2}-3)=(1-\sqrt{2})\times(-\sqrt{2}-1)=(-\sqrt{2})^{2}-1^{2}=2 - 1=1$。

17.(2024河南周口月考)已知$a$、$b$满足等式$b = \sqrt{2a - 6}+\sqrt{9 - 3a}-9$，则$\sqrt{12a}-\sqrt{b^{2}}+\sqrt[3]{ab}$的值为________.

答案： 答案 -6 解析 依题意得 $2a - 6\geq0$，$9 - 3a\geq0$，解得 $a = 3$，$\therefore b=0 + 0 - 9=-9$，$\therefore$原式 $=\sqrt{36}-\sqrt{81}+\sqrt[3]{-27}=6 - 9 - 3=-6$。

18.(情境题·数学文化)我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念.如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则$a - b=$________.

答案： 答案 $-6\sqrt{2}$ 解析 设外圆空白处的数为 $x$，内圆空白处的数为 $y$，根据题意得 $a + x+3\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=\sqrt{32}+b + y+(-\sqrt{18})$，$a+\sqrt{32}+y+3\sqrt{2}=x + b+(-\sqrt{18})+(-\sqrt{2})$，整理得 $\begin{cases}a - b+x - y=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\sqrt{2}=-\sqrt{2}①\\a - b+y - x=-3\sqrt{2}-\sqrt{2}-4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=-11\sqrt{2}②\end{cases}$，$① + ②$得 $2(a - b)=-12\sqrt{2}$，则 $a - b=-6\sqrt{2}$。

19.(6分)计算或化简：
(1)$3\sqrt{1.25}\div\frac{3}{4}\sqrt{2\frac{1}{2}}\times2\sqrt{18}$.
(2)$\frac{3}{5}\sqrt{xy^{2}}\div(-\frac{4}{15}\sqrt{\frac{y}{x}})\cdot(-\frac{5}{6}\sqrt{x^{3}y})$.

答案： 解析
(1)原式 $=3\sqrt{\frac{5}{4}}\div\frac{3}{4}\sqrt{\frac{5}{2}}\times2\sqrt{18}$ $=3\sqrt{\frac{5}{4}}\times\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{5}}\times2\sqrt{18}$ $=3\times\frac{4}{3}\times2\times\sqrt{\frac{5}{4}\times\frac{2}{5}\times18}=24$。
(2)原式 $=\frac{3}{5}\sqrt{xy^{2}}\cdot(-\frac{15}{4}\sqrt{\frac{x}{y}})\cdot(-\frac{5}{6}\sqrt{x^{3}y})$ $=(\frac{3}{5}\times\frac{15}{4}\times\frac{5}{6})\cdot\sqrt{xy^{2}\cdot\frac{x}{y}\cdot x^{3}y}$ $=\frac{15}{8}\sqrt{x^{5}y^{2}}=\frac{15}{8}\sqrt{x^{4}y^{2}}\cdot\sqrt{x}=\frac{15}{8}x^{2}y\sqrt{x}$。

20.(8分)
(1)实数$a$，$b$在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：$\sqrt{a^{2}}-\sqrt{b^{2}}-\sqrt{(a - b)^{2}}$.

(2)已知$4 ＜ a ＜ 11$，化简：$\sqrt{(a - 4)^{2}}+\sqrt{(a - 11)^{2}}$.

答案： 解析
(1)由数轴知，$a＜0＜b$，$\therefore a - b＜0$，$\therefore\sqrt{a^{2}}-\sqrt{b^{2}}-\sqrt{(a - b)^{2}}=\vert a\vert-\vert b\vert-\vert a - b\vert=(-a)-b+a - b=-2b$。
(2)$\because4＜a＜11$，$\therefore a - 4＞0$，$a - 11＜0$，$\therefore\sqrt{(a - 4)^{2}}+\sqrt{(a - 11)^{2}}=\vert a - 4\vert+\vert a - 11\vert=a - 4+11 - a=7$。

21.(8分)数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式.
第1个等式：
$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2 - 1}=\sqrt{2}+1$；
第2个等式：
$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3 - 2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$；……
请你根据上述方法完成下列题目：
(1)计算：$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{4}}=$________.
(2)比较$\frac{1}{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}$与$\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n - 1}}$的大小($n\geqslant2$，且$n$为正整数).

答案： 解析
(1)$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{5}-\sqrt{4})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{5 - 4}=\sqrt{5}+2$。
(2)$\frac{1}{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})(\sqrt{n + 1}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}{n + 1 - n}=\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}$， $\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n - 1}}=\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n - 1}}{(\sqrt{n}-\sqrt{n - 1})(\sqrt{n}+\sqrt{n - 1})}=\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n - 1}}{n-(n - 1)}=\sqrt{n}+\sqrt{n - 1}$。 $\because\sqrt{n + 1}＞\sqrt{n - 1}$，$\therefore\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}＞\sqrt{n}+\sqrt{n - 1}$，$\therefore\frac{1}{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}＞\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n - 1}}$。