《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册人教版》

14.(2024河南科技大学附中月考，12，★☆☆)化简$2a\sqrt{18ab}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\sqrt{6b}$的结果为______.

答案： 答案 $-6ab\sqrt{3a}$
解析 $2a\sqrt{18ab} \cdot (-\frac{1}{2})\sqrt{6b}$
$ \begin{aligned} &= 2a \cdot (-\frac{1}{2})\sqrt{18ab \cdot 6b}\\ &= -a \cdot \sqrt{3 \times 6 \times 6ab^2} = -6ab\sqrt{3a}. \end{aligned} $

15.(2022湖北随州中考，15，★☆☆)已知$m$为正整数，若$\sqrt{189m}$是整数，则根据$\sqrt{189m} = \sqrt{3\times3\times3\times7m} = 3\sqrt{3\times7m}$知$m$有最小值$3\times7 = 21$.设$n$为正整数，若$\sqrt{\frac{300}{n}}$是大于1的整数，则$n$的最小值为______，最大值为______.

答案： 答案 $3；75$ 解析 $\sqrt{\frac{300}{n}} = \sqrt{\frac{100 \times 3}{n}} = 10\sqrt{\frac{3}{n}}$，$\because \sqrt{\frac{300}{n}}$ 为大于1的整数，且 $n$ 为正整数，$\therefore n$ 的最小值为3. $\because \sqrt{\frac{300}{n}} \geq 2，\therefore n \leq \frac{300}{4} = 75，\therefore n$ 的最大值为75.

16.(2024黑龙江齐齐哈尔三中期中，17，★★☆)已知$a$为实数，化简：$\sqrt{-a^{3}} - a\sqrt{-\frac{1}{a}}$，阅读下面的解答过程，请判断是否正确，若不正确，请写出正确的解答过程.
解：$\sqrt{-a^{3}} - a\sqrt{-\frac{1}{a}} = a\times\sqrt{-a} - a\times\frac{1}{a}\sqrt{a} = (a - 1)\sqrt{a}$.

答案： 解析 原解答过程错误. 正确的解答过程如下： $ \begin{aligned} &\sqrt{-a^3} - a\sqrt{-\frac{1}{a}} = -a \times \sqrt{-a} + \sqrt{(-a)^2 \times (-\frac{1}{a})}\\ &= -a\sqrt{-a} + \sqrt{-a} = (1 - a)\sqrt{-a}. \end{aligned} $

17.(2024湖南长沙雅礼实验中学月考，19，★★☆)计算：(M8216003)
(1)$\frac{3}{2}\sqrt{20}\times(-\sqrt{15})\times\left(-\frac{1}{3}\sqrt{48}\right)$.
(2)$\frac{2}{b}\sqrt{ab^{3}}\cdot\left(-\frac{3}{2}\sqrt{a^{3}b}\cdot3\sqrt{\frac{a}{b}}\right)(a ＞ 0,b ＞ 0)$.

答案： 解析
(1) 原式 $= \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} \times \sqrt{20 \times 15 \times 48}$
$ \begin{aligned} &= \frac{1}{2} \times \sqrt{4 \times 5 \times 3 \times 5 \times 16 \times 3}\\ &= \frac{1}{2} \times \sqrt{2^2 \times 5^2 \times 3^2 \times 4^2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 5 \times 3 \times 4 = 60. \end{aligned} $
(2) 原式 $= \frac{2}{b} \times (-\frac{3}{2}) \times 3 \times \sqrt{ab^3 \cdot a^3b \cdot \frac{a}{b}}$ $ = -\frac{9}{b}\sqrt{a^5b^3} = -9a^2\sqrt{ab}. $

18.(2023广东广州八一实验学校月考，18，★★☆)已知$k,m,n$都是整数，且$\sqrt{135} = k\sqrt{15}$，$\sqrt{450} = 15\sqrt{m}$，$\sqrt{180} = 6\sqrt{n}$，请比较$k,m,n$的大小关系.

答案： 解析 $\because \sqrt{135} = k\sqrt{15}，\sqrt{450} = 15\sqrt{m}，\sqrt{180} = 6\sqrt{n}，\therefore \sqrt{9 \times 15} = 3\sqrt{15} = k\sqrt{15}，\sqrt{225 \times 2} = 15\sqrt{2} = 15\sqrt{m}，\sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5} = 6\sqrt{n}$， 解得 $k = 3，m = 2，n = 5，\therefore m ＜ k ＜ n$.

19.运算能力 情境题·数学文化 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为$S = \sqrt{\frac{1}{4}\left[a^{2}b^{2}-\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}\right)^{2}\right]}$(其中$a$、$b$、$c$为三角形的三边长，$S$为面积)①，而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$(其中$p = \frac{a + b + c}{2}$)②.
请根据以上材料完成下面的任务：
任务一：王师傅准备开垦一块边长分别为$2\sqrt{5}$ m，$2\sqrt{6}$ m，$2\sqrt{7}$ m的三角形空地种植花卉，请你用秦九韶公式帮助王师傅计算一下开垦的空地的面积.
任务二：如图所示的是小明制作的一个风筝模型，其中$AB = BC = 50$ cm，$AD = CD = 40$ cm，$BD = 60$ cm，请你用海伦公式帮助小明求风筝模型$ABCD$的面积.

答案： 解析 任务一：令 $a^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20，b^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24，c^2 = (2\sqrt{7})^2 = 28$， 由公式①，得 $S = \sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2 - (\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2})^2]}$
$ \begin{aligned} &= \sqrt{\frac{1}{4} \times [20 \times 24 - (\frac{20 + 24 - 28}{2})^2]}\\ &= \sqrt{\frac{1}{4} \times (480 - 8^2)} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}(m^2). \end{aligned} $
答：王师傅开垦的空地的面积为 $2\sqrt{26}m^2$.
任务二：$\because AB = BC，AD = CD，BD = BD$， $\therefore \triangle ABD \cong \triangle CBD$， 在 $\triangle ABD$ 中，$p = \frac{AB + AD + BD}{2} = \frac{50 + 40 + 60}{2} = 75$， $\therefore S_{\triangle ABD} = \sqrt{75 \times (75 - 50) \times (75 - 40) \times (75 - 60)} = 375\sqrt{7}(cm^2)$， $\therefore S_{\triangle BCD} = S_{\triangle ABD} = 375\sqrt{7}cm^2$， $\therefore S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD} = 375\sqrt{7} + 375\sqrt{7} = 750\sqrt{7}(cm^2)$. 答：风筝模型 $ABCD$ 的面积为 $750\sqrt{7}cm^2$.