《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册人教版》

4.如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC = 6 cm，BD = 8 cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E.
（1）判断四边形BOCE的形状，并证明.
（2）点G从点A沿线段AC的方向以2 cm/s的速度移动了t s，连接BG，当S_{△ABG}=2S_{△OBG}时，求t的值.
（3）如图2，点G在直线AC上运动，求BG + EG的最小值.

答案：
（1）四边形$BOCE$是矩形。证明：因为$BE// OC$，$EC// OB$，所以四边形$BOCE$是平行四边形，因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC\perp BD$，所以$\angle BOC = 90^{\circ}$，所以四边形$BOCE$是矩形。（2）因为四边形$ABCD$是菱形，$AC = 6\mathrm{cm}$，所以$OA = OC = 3\mathrm{cm}$，因为$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle OBC}$，所以$AG = 2OG$，所以$2t = 2(3 - 2t)$或$2t = 2(2t - 3)$，解得$t = 1$或$t = 3$，所以满足条件的$t$的值为$1$或$3$。（3）因为四边形$ABCD$是菱形，所以$OB = OD$，$AC\perp BD$，因为四边形$BOCE$是矩形，所以$BE = OC = 3\mathrm{cm}$，$\angle EBO = 90^{\circ}$，连接$ED$，交$AC$于点$H$，连接$DG$，
则$BG = DG$，所以$BG + EG = DG + EG\geq DE$，所以当$E$，$G$，$D$三点共线，即点$G$与点$H$重合时，$BG + EG$有最小值，即线段$DE$的长，在$Rt\triangle EBD$中，$DE=\sqrt{BE^{2}+BD^{2}}=\sqrt{3^{2}+8^{2}}=\sqrt{73}(\mathrm{cm})$，所以$BG + EG$的最小值为$\sqrt{73}\mathrm{cm}$。

5.点O为正方形ABCD对角线AC与BD的交点，点E为直线BD上一点（点E与点B，点D，点O不重合），连接AE.
（1）如图1，若点E为OD的中点，AB = $\sqrt{2}$，求△ABE的面积.
（2）如图2，若点E在线段OD上，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F，交直线AC于点H，过点F作FG//AE交直线BD于点G.求证：FG + FH = AE.
（3）若点E为直线BD上一动点，其他条件与第（2）问条件相同，请写出线段DE，BG，CH之间的数量关系.

答案：
（1）因为四边形$ABCD$为正方形，$AB=\sqrt{2}$，所以$OA = OB = OD = 1$，$AO\perp BD$，因为点$E$为$OD$的中点，所以$OE=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}$，所以$BE = BO + OE=\frac{3}{2}$，所以$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}BE\cdot AO=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times1=\frac{3}{4}$。
（2）证明：过点$E$作直线$EN\perp BC$于点$N$，交$AD$于$M$，
易知四边形$AMNB$为矩形，所以$AM = BN$，$\angle AME=\angle AEF=\angle FNE = 90^{\circ}$，在正方形$ABCD$中，$\angle EBN = 45^{\circ}$，所以$EN = BN = AM$，因为$\angle MAE+\angle1=\angle FEN+\angle1 = 90^{\circ}$，所以$\angle MAE=\angle FEN$，所以$\triangle AME\cong\triangle ENF(ASA)$，所以$AE = EF$，同理可得，$\triangle AHE\cong\triangle EGF$，所以$FG = EH$，因为$EH + FH = EF = AE$，所以$FG + FH = AE$。
（3）①当点$E$在线段$OD$上时，由（2）得$\triangle AHE\cong\triangle EGF$，所以$AH = EG$，因为$AH = AC - CH$，$EG = BD - BG - DE$，$AC = BD$，所以$AC - CH = BD - BG - DE$，即$CH = BG + DE$。
②当点$E$在线段$DB$的延长线上时，连接$CE$，
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$BD$垂直平分$AC$，$\angle BAO=\angle BCO = 45^{\circ}$，所以$AE = CE$，所以$\angle EAO=\angle ECO$，所以$\angle EAO-\angle BAO=\angle ECO-\angle BCO$，所以$\angle EAB=\angle ECB$，在$Rt\triangle FME$和$Rt\triangle AMB$中，由“$8$”字型得$\angle MAB=\angle MFE$，所以$\angle MFE=\angle ECB$，所以$FE = CE$，所以$FE = AE$，在$Rt\triangle FGE$和$Rt\triangle OHE$中，由“$8$”字型得$\angle FGE=\angle OHE$，又$\angle EFG=\angle AEH = 90^{\circ}$，所以$\triangle EFG\cong\triangle AEH(AAS)$，所以$EG = AH$，因为$EG = BG - BE$，$AH = AC + CH = BD + CH$，所以$BG - BE = BD + CH$，所以$BG = BE + BD + CH = DE + CH$，即$BG = DE + CH$。
③当点$E$在线段$BD$的延长线上时，过点$E$作$EN\perp BA$交$BA$的延长线于点$N$，作$EH'\perp BF$于点$H'$，
因为$\angle NBE=\angle H'BE = 45^{\circ}$，$\angle NEH'=\angle AEF = 90^{\circ}$，所以$EN = EH'$，$\angle NEH'-\angle AEH'=\angle AEF-\angle AEH'$，即$\angle NEA=\angle H'EF$，因为$\angle ENA=\angle EH'F = 90^{\circ}$，所以$\triangle NEA\cong\triangle H'EF$，所以$AE = EF$，在$Rt\triangle GOM$和$Rt\triangle HFM$中，由“$8$”字型得$\angle G=\angle H$，因为$\angle AEH=\angle EFG = 90^{\circ}$，所以$\triangle AEH\cong\triangle EFG(AAS)$，所以$AH = EG$，因为$AH = AC + CH$，$EG = DE + DB + BG$，$AC = BD$，所以$CH = DE + BG$。
④当点$E$在线段$OB$上时，连接$CE$，
同理得$\angle1=\angle3=\angle2$，$AE = EC = EF$，由“$8$”字型得$\angle EGF=\angle AHE$，因为$\angle EFG=\angle AEH = 90^{\circ}$，所以$\triangle EFG\cong\triangle AEH(AAS)$，所以$EG = AH$，因为$EG = BG + BE = BG + BD - DE$，$AH = AC - CH$，$BD = AC$，所以$BG + BD - DE = AC - CH$，所以$DE = BG + CH$。综上所述，线段$DE$，$BG$，$CH$之间的数量关系为$CH = BG + DE$或$BG = DE + CH$或$DE = BG + CH$。