《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册人教版》

13.(2024河北邢台三模,4,★★☆)当$x＞5$时,二次根式$\sqrt{x + k}$($k$为常数)有意义,则$k$的取值范围是 （ ）
A.$k\leq - 5$
B.$k＜ - 5$
C.$k＞ - 5$
D.$k\geq - 5$

答案： D：由题意知 x + k ≥ 0，解得 x ≥ -k。
∵ x ＞ 5 时，二次根式有意义，
∴ -k ≤ 5，解得 k ≥ -5。故选 D。

14.(2024山东临沂月考改编,13,★★☆)使$\frac{\sqrt{2x + 3}}{\sqrt{2 - x}}$有意义的$x$的取值范围是________.

答案： 答案：-$\frac{3}{2}$ ≤ x ＜ 2 解析：
∵要使$\frac{\sqrt{2x + 3}}{\sqrt{2 - x}}$有意义，
∴ 2x + 3 ≥ 0 且 2 - x ＞ 0，解得 -$\frac{3}{2}$ ≤ x ＜ 2。

15.(2024黑龙江哈尔滨三中期中,15,★★☆)若$x,y$都是实数,且满足$y＜\sqrt{x - 1}+\sqrt{1 - x}+\frac{1}{2}$,化简$\frac{|1 - y|}{y - 1}$的结果为________.

答案： 答案：-1 解析：依题意，得$\begin{cases}x - 1 ≥ 0 \\ 1 - x ≥ 0\end{cases}$，所以 x = 1，此时 y ＜ $\frac{1}{2}$，所以 1 - y ＞ $\frac{1}{2}$ ＞ 0，所以$\frac{|1 - y|}{y - 1}$ = $\frac{1 - y}{y - 1}$ = -1。

16.(2024山东潍坊月考,17,★★☆)先阅读,后回答问题:当$x$为何值时,$\sqrt{x(x - 3)}$有意义?
解:要使该二次根式有意义,需满足$x(x - 3)\geq0$,由乘法法则得$\begin{cases}x\geq0,\\x - 3\geq0\end{cases}$或$\begin{cases}x\leq0,\\x - 3\leq0\end{cases}$,
解得$x\geq3$或$x\leq0$.
$\therefore$当$x\geq3$或$x\leq0$时,$\sqrt{x(x - 3)}$有意义.
阅读上述解题方法,请你解答:当$x$为何值时,$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{3x + 6}}$有意义?

答案： 解析：要使该二次根式有意义，需要满足$\frac{x - 1}{3x + 6}$ ≥ 0，
∴$\begin{cases}x - 1 ≥ 0 \\ 3x + 6 ＞ 0\end{cases}$或$\begin{cases}x - 1 ≤ 0 \\ 3x + 6 ＜ 0\end{cases}$，解得 x ≥ 1 或 x ＜ -2，
∴当 x ≥ 1 或 x ＜ -2 时，$\sqrt{\frac{x - 1}{3x + 6}}$有意义。

17.新考法 (2024山东济南外国语学校期中,20,★★☆)
【问题情境】若实数$x,y$满足$y=\sqrt{x - 2}+\sqrt{2 - x}-6$,求$x + y$的值.下面是小明的部分解题过程:
解:若要使该式子有意义,则需要同时满足$x - 2\geq0,2 - x\geq0,\cdots\cdots$
(1)请你将解题过程补充完整.
【解决问题】
(2)已知$a,b$分别为等腰三角形的两条边长,且$a,b$满足$b = 5+\sqrt{a - 3}+\sqrt{6 - 2a}$,求该三角形的周长.

答案： 解析：
(1)补全过程如下：则 x ≥ 2 且 x ≤ 2，
∴ x = 2，
∴ y = $\sqrt{x - 2}+\sqrt{2 - x}-6$ = -6，
∴ x + y = 2 + (-6) = -4。
(2)若要使该式子有意义，则需要同时满足 a - 3 ≥ 0，6 - 2a ≥ 0，则 a ≥ 3 且 a ≤ 3，
∴ a = 3，
∴ b = 5 + $\sqrt{a - 3}+\sqrt{6 - 2a}$ = 5，
∵ a，b 分别为等腰三角形的两条边长，
∴当腰长为 3 时，3 + 3 ＞ 5，
∴该三角形的周长为 3 + 3 + 5 = 11；当腰长为 5 时，3 + 5 ＞ 5，
∴该三角形的周长为 3 + 5 + 5 = 13。综上所述，该三角形的周长为 11 或 13。

18.运算能力 自习课上,张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求式子$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 5}}$中实数$a$的取值范围”,她告诉刘敏说:“你把题目抄错了,不是$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 5}}$,而是$\sqrt{\frac{a}{a - 5}}$.”刘敏说:“哎呀,真抄错了,好在不影响结果,反正$a$和$a - 5$都在根号内.”问:刘敏说得对吗? 也就是说,按照$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 5}}$解题和按照$\sqrt{\frac{a}{a - 5}}$解题的结果一样吗?

答案： 解析：刘敏说得不对，结果不一样。按$\sqrt{\frac{a}{a - 5}}$计算，则 a ≥ 0，a - 5 ＞ 0 或 a ≤ 0，a - 5 ＜ 0，解得 a ＞ 5 或 a ≤ 0；而按$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 5}}$计算，则只有 a ≥ 0，a - 5 ＞ 0，解得 a ＞ 5。故按照$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 5}}$解题和按照$\sqrt{\frac{a}{a - 5}}$解题的结果不一样。