《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册人教版》

1.已知下列命题：①若$a＞b$，则$ac＞bc$；②若$a = 1$，则$\sqrt{a}=a$；③若$a＞0,b＞0$，则$a + b＞0$；④直角三角形的两锐角互余.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： A \n①若 $a ＞ b$，则 $ac ＞ bc$，是假命题，它的逆命题是若 $ac ＞ bc$，则 $a ＞ b$，是假命题；\n②若 $a = 1$，则 $\sqrt{a}=a$，是真命题，它的逆命题是若 $\sqrt{a}=a$，则 $a = 1$，是假命题；\n③若 $a＞0,b＞0$，则 $a + b＞0$，是真命题，它的逆命题是若 $a + b＞0$，则 $a＞0,b＞0$，是假命题；\n④直角三角形的两锐角互余，是真命题，它的逆命题是有两角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故选A。

2.定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是______________________.

答案： 内错角相等，两直线平行

3.写出下列命题的逆命题，并判断真假.
（1）对顶角相等.
（2）如果$a = b$，那么$ac = bc$.
（3）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等.

答案： 解析：\n（1）相等的角是对顶角，是假命题。\n（2）如果 $ac = bc$，那么 $a = b$，是假命题。\n（3）如果一个三角形的两条边相等，那么这两条边所对的内角相等，是真命题。

4.教材变式·P34T1 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(M8217002)（ ）
A.8,15,17
B.1,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$
C.1,3,$\sqrt{7}$
D.5,12,13

答案： C 因为 $8^{2}+15^{2}=17^{2}$，$1^{2}+(\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{3})^{2}$，$1^{2}+(\sqrt{7})^{2}=8\neq3^{2}$，$5^{2}+12^{2}=13^{2}$，所以选项A、B、D均不符合题意，选项C符合题意，故选C。

5.(2023重庆江津期末)在$\triangle ABC$中，$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$的对边分别为$a$、$b$、$c$.下列条件中，不能说明$\triangle ABC$是直角三角形的是(M8217002)（ ）
A.$a:b:c = 1:2:3$
B.$a^{2}=b^{2}+c^{2}$
C.$\angle B+\angle C=\angle A$
D.$\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$

答案： A \n因为 $a:b:c = 1:2:3$，设 $a = x$，$b = 2x$，$c = 3x$，$x＞0$，因为 $x^{2}+(2x)^{2}\neq(3x)^{2}$，所以 $\triangle ABC$ 不是直角三角形，故选项A符合题意；\n因为 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$，所以 $\triangle ABC$ 为直角三角形，故选项B不合题意；\n因为 $\angle B+\angle C=\angle A$，$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，所以 $\angle A = 90^{\circ}$，所以 $\triangle ABC$ 为直角三角形，故选项C不合题意；\n因为 $\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$，$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，所以 $\angle C = 180^{\circ}\times\frac{3}{1 + 2+3}=90^{\circ}$，所以 $\triangle ABC$ 为直角三角形，故选项D不合题意。故选A。

6.(2024吉林四平期末)如图，$AB = 3$，$BC = 4$，$AC = 5$，$P$是线段$AC$上一点，连接$PB$，则$PB$的长不可能是(M8217002)（ ）

A.3.5
B.2.5
C.2
D.3

答案： C 因为 $3^{2}+4^{2}=5^{2}$，所以 $AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，所以 $\triangle ABC$ 是直角三角形，且 $\angle ABC = 90^{\circ}$。当 $PB\perp AC$ 时，$PB$ 的长最小，设此时 $PB = x$，在 $Rt\triangle ABC$ 中，由等面积法可得 $\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}AC\cdot x$，即 $\frac{1}{2}\times3\times4=\frac{1}{2}\times5x$，解得 $x=\frac{12}{5}＞2$，所以 $PB$ 的长不可能是2. 故选C。

7.(2024广西河池期末)如图，在四边形$ABCD$中，$AB = 3$，$BC = 4$，$CD = 1$，$AD = 2\sqrt{6}$，$\angle B = 90^{\circ}$，则四边形$ABCD$的面积为________.(M8217002)

答案：
答案：$6+\sqrt{6}$ 解析：如图，连接 $AC$，
因为 $AB = 3$，$BC = 4$，$\angle B = 90^{\circ}$，所以 $AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 5$，因为 $CD = 1$，$AD = 2\sqrt{6}$，所以 $AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}$，所以 $\triangle ACD$ 是直角三角形，且 $\angle D = 90^{\circ}$，所以四边形 $ABCD$ 的面积 $S = S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\times3\times4+\frac{1}{2}\times1\times2\sqrt{6}=6+\sqrt{6}$。

8.(易错题)阅读以下解题过程：
已知$a$，$b$，$c$为$\triangle ABC$的三边长，且满足$a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}=a^{4}-b^{4}$，试判断$\triangle ABC$的形状.
解：$\because a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}=a^{4}-b^{4}$，①
$\therefore c^{2}(a^{2}-b^{2})=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})$，②
$\therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}$，③
$\therefore \triangle ABC$为直角三角形.④
（1）上述解题过程从哪一步开始出现错误？该步的序号为________.
（2）错误的原因是______________________.
（3）本题正确的结论是______________________.

答案： 答案：\n（1）③\n（2）不能确定 $a^{2}-b^{2}$ 是不是等于0\n（3）$\triangle ABC$ 是等腰三角形或直角三角形 解析：因为 $a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}=a^{4}-b^{4}$，所以 $c^{2}(a^{2}-b^{2})=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})$，所以 $(a^{2}-b^{2})[c^{2}-(a^{2}+b^{2})]=0$，所以 $a^{2}-b^{2}=0$ 或 $c^{2}-(a^{2}+b^{2})=0$，所以 $a = b$ 或 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$，所以 $\triangle ABC$ 为等腰三角形或直角三角形. 故从第③步开始出现错误，其原因是不能确定 $a^{2}-b^{2}$ 是不是等于0，正确的结论是 $\triangle ABC$ 是等腰三角形或直角三角形。

9.(2023广西贺州期中)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形$ABCD$的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）线段$AC$的长为________，$CD$的长为________，$AD$的长为________.
（2）通过计算说明$\triangle ACD$是什么特殊三角形.

答案： 解析：\n（1）$AC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$；$CD=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$；$AD=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。\n（2）由（1）知 $AC^{2}=20$，$CD^{2}=5$，$AD^{2}=25$，所以 $AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$，所以 $\triangle ACD$ 是直角三角形。