《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册人教版》

4. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y = 2x - 1 的图象分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，将直线 AB 绕点 B 按顺时针方向旋转 45°，交 x 轴于点 C，则直线 BC 的函数表达式是__________.

答案：
**答案**：$y=\frac{1}{3}x-1$ **解析**：因为一次函数$y = 2x-1$的图象分别交$x$轴、$y$轴于点$A$、$B$，所以$A(\frac{1}{2},0)$，$B(0,-1)$，则$OA=\frac{1}{2}$，$OB = 1$。过$A$作$AF\perp AB$交$BC$于$F$，过$F$作$FE\perp x$轴于$E$。
因为$\angle ABC = 45^{\circ}$，所以$\triangle ABF$是等腰直角三角形，所以$AB = AF$。又因为$\angle OAB+\angle ABO=\angle OAB+\angle EAF = 90^{\circ}$，所以$\angle ABO=\angle EAF$，所以$\triangle ABO\cong\triangle FAE(AAS)$，所以$AE = OB = 1$，$EF = OA=\frac{1}{2}$，所以$F(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$。设直线$BC$的函数表达式为$y = kx + b(k\neq0)$，则$\begin{cases}\frac{3}{2}k + b=-\frac{1}{2}\\b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3}\\b=-1\end{cases}$，所以直线$BC$的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x-1$。

5. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y = $\sqrt{3}x$经过点 A，作 AB⊥x 轴于点 B，将△ABO 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△CBD，若点 B 的坐标为(2,0)，则点 C 的坐标为________.

答案： **答案**：$(5,\sqrt{3})$ **解析**：因为点$B$的坐标为$(2,0)$，所以$OB = 2$，因为$AB\perp x$轴于点$B$，所以点$A$的横坐标为$2$，当$x = 2$时，$y = 2\sqrt{3}$，所以点$A$的坐标为$(2,2\sqrt{3})$，则$AB = 2\sqrt{3}$。由勾股定理得$OA=\sqrt{AB^{2}+OB^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+2^{2}} = 4$，所以$\angle OAB = 30^{\circ}$，$\angle AOB = 60^{\circ}$。因为$\triangle ABO$绕点$B$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle CBD$，所以$\angle C = 30^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，设$AB$与$CD$相交于点$E$，所以$\angle BEC = 90^{\circ}=\angle OBA$，所以$CD// x$轴。在$Rt\triangle BEC$中，$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，所以$CE=\sqrt{BC^{2}-BE^{2}} = 3$，所以点$C$的横坐标为$3 + 2 = 5$，所以点$C$的坐标为$(5,\sqrt{3})$。

6. (2021 广西贺州中考)如图，一次函数 y = x + 4 的图象与坐标轴分别交于 A，B 两点，点 P，C 分别是线段 AB，OB 上的点，且∠OPC = 45°，PC = PO，则点 P 的坐标为___________.

答案：
**答案**：$(-2\sqrt{2},4 - 2\sqrt{2})$ **解析**：在$y = x + 4$中，令$x = 0$，则$y = 4$；令$y = 0$，则$x=-4$，所以$A(-4,0)$，$B(0,4)$，所以$AO = BO = 4$，所以$\triangle AOB$是等腰直角三角形，$\angle ABO = 45^{\circ}$。过$P$作$PD\perp OC$于$D$，则$\triangle BDP$是等腰直角三角形。
因为$\angle PBC=\angle OPC=\angle OAP = 45^{\circ}$，所以$\angle PCB+\angle BPC = 135^{\circ}=\angle OPA+\angle BPC$，所以$\angle PCB=\angle OPA$。在$\triangle PCB$和$\triangle OPA$中，$\begin{cases}\angle PBC=\angle OAP\\\angle PCB=\angle OPA\\PC = OP\end{cases}$，所以$\triangle PCB\cong\triangle OPA(AAS)$，所以$BP = AO = 4$。在$Rt\triangle BDP$中，$BD = PD = 2\sqrt{2}$，所以$OD = OB - BD=4 - 2\sqrt{2}$，所以点$P$的坐标为$(-2\sqrt{2},4 - 2\sqrt{2})$。

7. 如图，直线 y = -$\frac{1}{2}x + 3$与坐标轴分别交于点 A，点 B，与直线 y = x 交于点 C，线段 OA 上的点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，运动时间为 t 秒，连接 CQ.
(1)求点 C 的坐标.
(2)若△OQC 是等腰直角三角形，则 t 的值为__________.

(3)若 CQ 平分△OAC 的面积，求直线 CQ 的函数关系式.

答案：
**解析**\n（1）联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x + 3\\y = x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$，所以点$C$的坐标为$(2,2)$。\n（2）
分情况讨论：如图1，当$\angle CQO = 90^{\circ}$，$CQ = OQ$时，因为$C(2,2)$，所以$OQ = CQ = 2$，所以$t=\frac{2}{1}=2$；如图2，当$\angle OCQ = 90^{\circ}$，$OC = CQ$时，过$C$作$CM\perp OA$于$M$，因为$C(2,2)$，所以$CM = OM = 2$，所以$QM = OM = 2$，所以$OQ = 4$，所以$t=\frac{4}{1}=4$。综上，$t$的值为$2$或$4$。\n（3）令$-\frac{1}{2}x + 3 = 0$，得$x = 6$，所以$A(6,0)$，因为$CQ$平分$\triangle OAC$的面积，所以$Q(3,0)$。设直线$CQ$的函数关系式是$y = kx + b(k\neq0)$，把$C(2,2)$，$Q(3,0)$代入得$\begin{cases}2k + b = 2\\3k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b = 6\end{cases}$，所以直线$CQ$的函数关系式为$y=-2x + 6$。

8. 如图，直线 $l_{1}$:y = 3x + 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B.将线段 AB 先向右平移 7 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到线段 CD，连接 AC，BD.
(1)求点 C，D 的坐标.
(2)求四边形 BACD 的面积.
(3)若直线 $l_{2}$:y = ax - 2a + 4 将四边形 BACD 分成面积相等的两部分，请求出 a 的值.

答案：
**解析**\n（1）直线$l_1:y = 3x + 3$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，所以$A(-1,0)$，$B(0,3)$。将线段$AB$先向右平移$7$个单位长度，再向上平移$1$个单位长度，得到线段$CD$，所以$C(6,1)$，$D(7,4)$。\n（2）因为线段$AB$平移得到线段$CD$，所以$AB// CD$，$AB = CD$，所以四边形$BACD$是平行四边形，所以$S_{\square BACD}=2S_{\triangle ABC}$。连接$BC$并延长交$x$轴于点$P$，
因为$B(0,3)$，设直线$BC$的解析式为$y = kx + 3(k\neq0)$，将$C(6,1)$代入得$6k + 3 = 1$，解得$k=-\frac{1}{3}$，所以直线$BC$的解析式为$y=-\frac{1}{3}x + 3$。当$y = 0$时，$0=-\frac{1}{3}x + 3$，解得$x = 9$，所以$P(9,0)$，所以$AP = 9-(-1)=10$，所以$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}-S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AP\cdot y_{B}-\frac{1}{2}AP\cdot y_{C}=10$，所以$S_{\square BACD}=2S_{\triangle ABC}=20$。\n（3）连接$AD$，$BC$相交于点$E$，
设$AD$所在直线解析式为$y = mx + n(m\neq0)$，将$A(-1,0)$，$D(7,4)$代入$y = mx + n$，得$\begin{cases}-m + n = 0\\7m + n = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\n=\frac{1}{2}\end{cases}$，所以$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{3}x + 3\\y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$，所以点$E$的坐标为$(3,2)$。易知当直线$l_2$过点$E$时可将四边形$BACD$分成面积相等的两部分，将$E(3,2)$代入直线$l_2:y = ax-2a + 4$，得$3a-2a + 4 = 2$，解得$a=-2$。