《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册人教版》

9.如图,已知在□ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E,F分别是线段OB,OD的中点,连接AE,CF.(M8218001)
(1)求证:AE=CF.
(2)若AC⊥CD,∠BOC=135°,BC=$\sqrt{5}$,求BD的长.

答案： 解析
(1)证明：在平行四边形ABCD中，AB = CD，AB//CD，BO = DO，AO = CO，
∴ ∠ABD = ∠CDB.
∵ 点E，F分别为OB，OD的中点，
∴ $BE=\frac{1}{2}BO$，$DF=\frac{1}{2}DO$，
∴ BE = DF. 在△ABE和△CDF中，$\begin{cases}AB = CD \\ \angle ABE=\angle CDF \\ BE = DF\end{cases}$，
∴ △ABE≌△CDF(SAS)，
∴ AE = CF.
(2)
∵ AB//CD，AC⊥CD，
∴ AC⊥AB，
∴ ∠BAC = 90°，
∵ ∠BOC = 135°，
∴ ∠ABO = ∠BOC - ∠BAC = 45°， ∠BOA = 180° - ∠BOC = 45°，
∴ ∠ABO = ∠AOB，
∴ AO = AB. 设AB = AO = CO = x，则AC = 2x， 在Rt△ABC中，$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$， 即$x^{2}+(2x)^{2}=(\sqrt{5})^{2}$，解得x = 1(舍负)，
∴ AB = AO = 1，
∴ $BO=\sqrt{AB^{2}+AO^{2}}=\sqrt{2}$.
∴ BD = 2BO = $2\sqrt{2}$.

12.新考向·开放性试题 (2022湖北荆州中考,12,★☆☆)如图,点E,F分别在□ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于G,H,添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是________.(只需写一种情况)

答案： 答案 BE = DF(答案不唯一) 解析 添加BE = DF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，∠A = ∠C，AB = CD，
∴ ∠E = ∠F，
∵ BE = DF，
∴ BE + AB = DF + CD，即AE = CF， 在△AEG和△CFH中，$\begin{cases}\angle E=\angle F \\ AE = CF \\ \angle A=\angle C\end{cases}$，
∴ △AEG≌△CFH(ASA). 故答案可以为BE = DF.(答案不唯一)

13.(2023福建中考,12,★☆☆)如图,在□ABCD中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为________.

答案： 答案 10 解析
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD = AB，CD//AB，
∴ ∠FDO = ∠EBO，∠DFO = ∠BEO，
∵ O为BD的中点，
∴ OD = OB，
∴ △DOF≌△BOE(AAS)，
∴ DF = BE，
∴ CD - DF = AB - BE，
∴ CF = AE = 10.

10.(2024广东广州十六中期中,8,★★☆)如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC于E,AB=$\sqrt{3}$,AC=2,BD=4,则AE的长为(M8218001) ( )


A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{\sqrt{21}}{7}$
D.$\frac{2\sqrt{21}}{7}$

答案： D
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC = 2，BD = 4，
∴ $AO=\frac{1}{2}AC = 1$，$BO=\frac{1}{2}BD = 2$，
∵ $AB=\sqrt{3}$，
∴ $AB^{2}+AO^{2}=BO^{2}$，
∴ ∠BAC = 90°，
∴ $BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2^{2}}=\sqrt{7}$，
∵ $S_{\triangle BAC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}BC\cdot AE$，
∴ $\sqrt{3}\times2=\sqrt{7}AE$，
∴ $AE=\frac{2\sqrt{21}}{7}$，故选D.

11.(2024浙江中考,10,★★☆)如图,在□ABCD中,AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2$\sqrt{3}$,过点A作AE⊥BC于点E,记BE的长为x,BC的长为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是 ( )


A.x+y
B.x-y
C.xy
D.x²+y²

答案：
C 过D作DH⊥BC交BC的延长线于H，如图， 
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = DC，AD//BC，
∵ AE⊥BC，DH⊥BC，
∴ AE = DH，
∴ Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，
∴ CH = BE = x，
∵ BC = y，
∴ EC = BC - BE = y - x，BH = BC + CH = y + x，
∵ $AE^{2}=AC^{2}-EC^{2}$，$DH^{2}=BD^{2}-BH^{2}$，
∴ $2^{2}-(y - x)^{2}=(2\sqrt{3})^{2}-(y + x)^{2}$，
∴ xy = 2. 故选C.

14.(2024四川雅安中考,20,★★☆)如图,点O是□ABCD对角线的交点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F.(M8218001)
(1)求证:△ODE≌△OBF.
(2)当EF⊥BD时,DE=15 cm,分别连接BE,DF,求此时四边形BEDF的周长.

答案：
解析
(1)证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//CB，
∴ ∠OED = ∠OFB，
∵ 点O是□ABCD对角线的交点，
∴ OD = OB， 在△ODE和△OBF中，$\begin{cases}\angle OED=\angle OFB \\ \angle DOE=\angle BOF \\ OD = OB\end{cases}$，
∴ △ODE≌△OBF(AAS).
(2)如图，  由
(1)得△ODE≌△OBF，
∴ OE = OF，
∵ EF⊥BD，
∴ DE = DF，BE = BF， 又
∵ OD = OB，EF⊥BD，
∴ BE = DE，
∴ DF = BF = BE = DE = 15 cm，
∴ 四边形BEDF的周长为DF + BF + BE + DE = 4DE = 4×15 = 60(cm).