《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例11 (1)若函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-ax + a)$在区间$(-\infty,\sqrt{2})$上单调递增，则实数$a$的取值范围为__________。
(2)已知函数$f(x)=\log_{2}(-x^{2}+ax + 15)$在$\left[\frac{1}{4},4\right]$上为单调函数，则$a$的取值范围为__________。

答案： $(1)[2\sqrt{2},2\sqrt{2}+2]$
解析：令$u=x^{2}-ax + a，$易知$y = \log_{\frac{1}{2}}u$在其定义域内为减函数，要使原函数在区间$(-\infty,\sqrt{2})$上单调递增，则$u=x^{2}-ax + a$在区间$(-\infty,\sqrt{2})$上单调递减，且恒大于0。则$\begin{cases}\frac{a}{2}\geq\sqrt{2}\\sqrt{2})^{2}-\sqrt{2}a + a\geq0\end{cases}，$解得$2\sqrt{2}\leq a\leq2\sqrt{2}+2，$故实数a的取值范围是$[2\sqrt{2},2\sqrt{2}+2]。$$(2)\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right]\cup[8,+\infty)$解析：因为函数$y = \log_{2}t$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以要想f(x)在$\left[\frac{1}{4},4\right]$上为单调函数，则函数$h(x)=-x^{2}+ax + 15$在$\left[\frac{1}{4},4\right]$上为单调函数。当h(x)在$\left[\frac{1}{4},4\right]$上单调递增时，满足$\begin{cases}\frac{a}{2}\geq4\\h\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{16}+\frac{a}{4}+15＞0\end{cases}，$解得$a\geq8；$当h(x)在$\left[\frac{1}{4},4\right]$上单调递减时，满足$\begin{cases}\frac{a}{2}\leq\frac{1}{4}\\h(4)=-16 + 4a + 15＞0\end{cases}，$解得$\frac{1}{4}＜a\leq\frac{1}{2}。$综上，a的取值范围为$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right]\cup[8,+\infty)。$

例12 (2023新课标Ⅱ,4)若$f(x)=(x + a)·\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$为偶函数，则$a=$（ ）
A.$-1$ B.$0$ C.$\frac{1}{2}$ D.$1$

答案： B
解析：解法一：由$f(x)$为偶函数，知$f(x)=f(-x)$，即$(x + a)\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}=(-x + a)\ln\frac{-2x - 1}{-2x + 1}=(-x + a)\ln\frac{2x + 1}{2x - 1}=(-x + a)\ln\left(\frac{2x - 1}{2x + 1}\right)^{-1}=-( - x + a)\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$，所以$x + a=-(-x + a)$恒成立，即$x + a=x - a$，得$a = 0$。
解法二（特值法）：易知$f(x)$的定义域为$(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$，由已知得$\forall x\in(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$，$f(-x)=f(x)$恒成立，所以$f(1)=f(-1)$，即$(1 + a)\ln\frac{1}{3}=(-1 + a)\ln3$，$(1 + a)(-\ln3)=(-1 + a)\ln3$，$-(1 + a)=-1 + a$，解得$a = 0$。经检验，$a = 0$符合题意，故选B。
解法三：易知$y=\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$为奇函数，又$f(x)$为偶函数，所以$y=x + a$为奇函数，所以$a = 0$，故选B。