《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例1 (1)(2023全国乙文,2)设全集$U=\{0,1,2,4,6,8\}$，集合$M=\{0,4,6\}$，$N=\{0,1,6\}$，则$M\cup\complement_{U}N=$（ ）
A.$\{0,2,4,6,8\}$ B.$\{0,1,4,6,8\}$
C.$\{1,2,4,6,8\}$ D.$U$
(2)(2023全国乙理,2)设全集$U=\mathbf{R}$，集合$M=\{x\mid x＜1\}$，$N=\{x\mid -1＜x＜2\}$，则$\{x\mid x\geqslant 2\}=$（ ）
A.$\complement_{U}(M\cup N)$ B.$N\cup\complement_{U}M$
C.$\complement_{U}(M\cap N)$ D.$M\cup\complement_{U}N$
(3)已知全集$U=\mathbf{R}$，集合$A=\{1,2,3,4,5\}$，$B=\{x\in\mathbf{R}\mid x\geqslant 2\}$，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A.$\{1\}$ B.$\{0,1\}$ C.$\{1,2\}$ D.$\{0,1,2\}$

答案：
(1)A
解析：由题意得$\complement_{U}N = \{2,4,8\}$，又$M = \{0,4,6\}$，所以$M\cup\complement_{U}N=\{0,2,4,6,8\}$，故选A。
(2)A
解析：$M\cup N=\{x\mid x＜2\}$，则$\complement_{U}(M\cup N)=\{x\mid x\geqslant 2\}$，A正确；$\complement_{U}M = \{x\mid x\geqslant 1\}$，$N\cup\complement_{U}M=\{x\mid x＞-1\}$，B错误；$M\cap N=\{x\mid -1＜x＜1\}$，$\complement_{U}(M\cap N)=\{x\mid x\leqslant - 1或x\geqslant 1\}$，C错误；$\complement_{U}N=\{x\mid x\leqslant - 1或x\geqslant 2\}$，$M\cup\complement_{U}N=\{x\mid x＜1或x\geqslant 2\}$，D错误，故选A。
(3)A
解析：图中阴影部分所表示的集合是在$A$中，但不在$B$中，故该集合为$A\cap(\complement_{U}B)$。因为$B=\{x\in\mathbf{R}\mid x\geqslant 2\}$，所以$\complement_{U}B=\{x\in\mathbf{R}\mid x＜2\}$。又$A = \{1,2,3,4,5\}$，所以$A\cap(\complement_{U}B)=\{1\}$，故选A。

例2 (1)若$A=\{x^{2},2x - 1,-4\}$，$B=\{x - 5,1 - x,9\}$，$A\cap B=\{9\}$，则$x=$___.
(2)设集合$A=\{x\mid x + 1\leqslant 0或x - 4\geqslant 0\}$，$B=\{x\mid 2a\leqslant x\leqslant a + 2\}$。若$A\cap B = B$，求实数$a$的取值范围.

答案：
(1)$-3$
解析：由$A\cap B = \{9\}$可知$9\in A$，则$x^{2}=9$或$2x - 1 = 9$，解得$x=\pm3$或$x = 5$。当$x = 3$时，$x - 5=1 - x=-2$，集合$B$中的元素不满足互异性，舍去；当$x=-3$时，$A=\{9,-7,-4\}$，$B=\{-8,4,9\}$，满足$A\cap B = \{9\}$；当$x = 5$时，$A=\{25,9,-4\}$，$B=\{0,-4,9\}$，$A\cap B=\{-4,9\}$，与$A\cap B = \{9\}$矛盾，舍去。综上可知，$x=-3$。
(2)$\{a\mid a\leqslant - 3或a\geqslant 2\}$
解析：$A=\{x\mid x\leqslant - 1或x\geqslant 4\}$。因为$A\cap B = B$，所以$B\subseteq A$。当$B=\varnothing$时，$2a＞a + 2$，解得$a＞2$；当$B\neq\varnothing$时，由$B\subseteq A$得$\begin{cases}2a\leqslant a + 2\\a + 2\leqslant - 1\end{cases}$或$\begin{cases}2a\leqslant a + 2\\2a\geqslant 4\end{cases}$，解得$a\leqslant - 3$或$a = 2$。综上所述，实数$a$的取值范围为$\{a\mid a\leqslant - 3或a\geqslant 2\}$。