《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例7 (2024重庆第十八中学月考)设函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}3^{x}+1,x\leq0,\\|\log_{2}x|,x＞0\end{array}\right.$若关于$x$的函数$g(x)=[f(x)]^{2}-(a + 1)f(x)+1$恰好有五个零点,则实数$a$的取值范围是__________.

答案： $1＜a\leq\frac{3}{2}$
解析：令$t=f(x)$，则$g(x)=t^{2}-(a + 1)t + 1$有五个零点，即方程$t^{2}-(a + 1)t + 1=0$有两个不同实根$t_{1},t_{2}$，且$t_{1}t_{2}=1$。由$f(x)$图象知，$t_{1}\in(0,1)$，$t_{2}\in(1,2]$。令$h(t)=t^{2}-(a + 1)t + 1$，则$\left\{\begin{array}{l}h(0)=1＞0\\h(1)=1-(a + 1)+1＜0\\h(2)=4 - 2(a + 1)+1\geq0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1 - a＜0\\5 - 2a\geq0\end{array}\right.$，解得$1＜a\leq\frac{3}{2}$。

例8（多选题）(2023新课标Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级$L_{p}=20\lg\frac{p}{p_{0}}$,其中常数$p_{0}(p_{0}＞0)$是听觉下限阈值,$p$是实际声压.下表为不同声源的声压级：
|声源|与声源的距离/m|声压级/dB|
|----|----|----|
|燃油汽车|10|60~90|
|混合动力汽车|10|50~60|
|电动汽车|10|40|
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为$p_{1},p_{2},p_{3}$，则（ ）
A.$p_{1}\geq p_{2}$
B.$p_{2}＞10p_{3}$
C.$p_{3}=100p_{0}$
D.$p_{1}\leq100p_{2}$

答案： ACD
解析：由$L_{p}=20\lg\frac{p}{p_{0}}$，得$\frac{p}{p_{0}}=10^{\frac{L_{p}}{20}}$。对于A，燃油车声压级$L_{p1}\geq50$，混合动力车$L_{p2}\leq60$，$\frac{p_{1}}{p_{0}}\geq10^{\frac{50}{20}}=10^{2.5}$，$\frac{p_{2}}{p_{0}}\leq10^{\frac{60}{20}}=10^{3}$，但燃油车最低声压级60对应$10^{3}$，混合动力车最高60，故$p_{1}\geq p_{2}$，A正确；对于B，$L_{p2}=50$时，$p_{2}=10^{\frac{50}{20}}p_{0}=10^{2.5}p_{0}$，$p_{3}=10^{\frac{40}{20}}p_{0}=100p_{0}$，$10p_{3}=1000p_{0}$，$10^{2.5}\approx31.6＜1000$，B错误；对于C，$L_{p3}=40$，$p_{3}=10^{\frac{40}{20}}p_{0}=100p_{0}$，C正确；对于D，$L_{p1}-L_{p2}\leq90 - 50=40$，$20\lg\frac{p1}{p2}\leq40$，$\lg\frac{p1}{p2}\leq2$，$\frac{p1}{p2}\leq100$，D正确，选ACD。